2.2. Магнитное поле

Магнитное поле. Если по проводнику течёт ток, то вокруг него образуются некоторые силы, которые можно обнаружить. Например, если по двум параллельным проводникам текут токи ив одну сторону, то эти проводники будут ощутимо притягиваться, а если в разные стороны, то отталкиваться (рис. 1.5). Эти силы можно назвать электродинамическими, так как они связаны именно с током, то есть движением зарядов. Но их назвали магнитными, и это название идёт, по-видимому, от Эрстеда, в 1817 году обнаружившего их по действию на магнитную стрелку.

Эти силы в пространстве могут меняться от точки к точке, поэтому для их описания вводят понятие поля. Существуют источники поля (например, провод с током) и объекты, на которые это поле воздействует (например, провод с током или магнитная стрелка). Для количественного описания магнитного поля используют величину , которую называют напряжённостью поля, и которая является векторной величиной.

Рис. 1.5. Взаимодействие двух токов, текущих по параллельным

Проводникам

Можно дать иное определение магнитного поля. Опыт показывает, что сила , действующая на движущийся точечный заряд, зависит в общем случае не только от положения этого заряда, но и от его скоростии определяется выражением, называемымзаконом Лоренца:

. (1.30)

Первое слагаемое этого выражения соответствует электрической составляющей силы (она не зависит от движения заряда), а второе - магнитной(она зависит от скорости заряда). В любой точке пространства направление и модуль магнитной составляющей силы зависят от скорости заряда, причем эта сила всегда перпендикулярна вектору; кроме того, в любом месте магнитная составляющая перпендикулярна определенному в данном месте направлению, которое характеризуется вектором, и, наконец, её модуль пропорционален той составляющей скорости, которая перпендикулярна этому выделенному направлению. Таким образом, векторхарактеризует особоесвойство пространства, которое носит название “магнитное поле”. Вектор является силовой характеристикой магнитного поля и называетсяиндукцией магнитного поля. Единицей магнитной индукции служит тесла (Тл). Как указано выше, магнитное поле часто характеризуют напряженностью . Векторы индукции и напряженности магнитного поля связаны следующим соотношением:=, где Г/м - магнитная постоянная. Закон Лоренца является универсальным: он справедлив как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей, причем при любых значениях скорости заряда. По действию силы Лоренца на заряд можно в принципе определить модули и направление векторови. Поэтому выражение для силы Лоренца можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей.

Опыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами (токами). В результате обобщения экспериментальных данных был получен элементарный закон, определяющий поле точечного заряда, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью. Этот закон записывается в виде:

, (1.31)

где - радиус-вектор, проведенный от зарядак точке наблюдения. Конец радиус-векторанеподвижен в данной системе отсчета, а его начало движется со скоростью, поэтому векторв данной системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени. Векторнаправлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторыи, причем вращение вокруг векторав направлении вектораобразует с направлениемправовинтовую систему.

Магнитный поток. Магнитный поток через элементарную поверхностьравен произведению проекциивектора индукции на нормальк элементу поверхности на площадь этого элемента, т.е.

. (1.32)

Поток через всю поверхность :

. (1.33)

В случае когда поверхность плоская и расположена в однородном поле перпендикулярно линиям индукции, магнитный поток равен

. (1.34)

Единицей измерения магнитного потока является вебер.

Потокосцепление. Если какой-либо электропроводящий контур, состоящий из витков, находится в магнитном поле, то говорят, что с этим контуром “сцеплен” магнитный поток, определяемый этим полем. По определению потокосцепление

, (1.35)

где - магнитный поток черезi-й виток. Размерность потокосцепления, как и у магнитного потока, – вебер.

Если все витки контура одинаковы, то

, (1.36)

где - магнитный поток через один виток.

Закон Био-Савара-Лапласа. Величина поля, создаваемого движением заряженных частиц (т.е. электрическим током), определяется законом Био-Савара-Лапласа (1820г.), являющимся обобщением экспериментальных данных. Закон гласит (рис. 1.6): элемент контура , по которому течёт ток силой, создаёт в произвольно выбранной точкемагнитное поле напряжённостью, равной

, (1.37)

где - расстояние от элемента токадо точки;- угол междуи.

Вектор перпендикулярен плоскости, содержащейи, а его направление определяется векторным произведением [], причем

Рис. 1.6. К пояснению закона Рис. 1.7. К расчету поля прямого

Био-Савара-Лапласа провода с током

совпадает по направлению с током . Таким образом, на рис. 1.6 вектор направлен к читателю. Как видно из (1.37), размерность поля – ампер, деленный на метр (А/м). С помощью закона Био-Савара-Лапласа можно вычислить поле различных систем токов в любой точке пространства.

Поле прямого провода с током. Необходимо просуммировать все от всех:

.

Как видно из рис. 1.7, , откуда следует.

_{Поэтому .} Переходя к интегрированию, получим:

. (1.38)

Вектор перпендикулярен плоскости чертежа и при указанном направлении тока в точкенаправлен к читателю. Из симметрии задачи видно, что вектор напряженности магнитного поля направлен по касательной к окружности, перпендикулярной направлению тока, то есть силовые линии магнитного поля представляют собой концентрические окружности. Направление силовых линий легко определитьпо правилу правой руки: при обхвате правой рукой проводника с током так, чтобы большой палец указывал направление тока, согнутые пальцы укажут направление поля.

Поле кругового тока. Для центра кругового тока (рис. 1.8а), поскольку , то=1 и. Тогда следует

. (1.39)

Направление поля перпендикулярно плоскости чертежа.

а б

Рис. 1.8. Поле кругового тока

Поле на оси кругового тока запишем без вывода (рис. 1.8б):

. (1.40)

Легко увидеть, что при (то есть в центре кругового тока) (1.40) переходит в (1.39).

При следует, то есть поле очень быстро спадает с увеличением.

Если имеется проводников (катушка, но катушка достаточно тонкая), то в (1.39) и (1.40) вместовойдет произведение.

Поле на оси соленоида. Длинная катушка, длина которой многократно превышает диаметр, называется соленоидом. Поле соленоида конечных размеров (см. рис. 1.9), пренебрегая толщиной намотки по сравнению с радиусом соленоида, с достаточной для практики точностью можно рассчитать с использованием выражения:

. (1.41)

Формула (1.41) является весьма важной для магнитной дефектоскопии, так как соленоиды употребляются для намагничивания изделий очень широко.

Рис. 1.9. Поле на оси соленоида

Часто пользуются упрощённым вариантом выражения (1.41), считая соленоид бесконечно длинным. Действительно, если и, то

, (1.42)

то есть поле соленоида пропорционально и числу витков на единицу длины соленоида.

центре соленоида ()

,

на конце соленоида ()

, (1.43)

а при следует

, (1.44)

то есть на конце длинного соленоида поле в два раза меньше, чем в середине. Если , то (1.43) переходит в (1.39) с соответствующим числом витков.

Поле проводника конечного сечения. В практике магнитной дефектоскопии для контроля изделий цилиндрической формы часто применяют циркулярное намагничивание, то есть пропускают ток непосредственно по изделию. При этом поле в некоторой точке , расположенной на расстоянииот центра цилиндра, рассчитывается по формуле (1.38).

Поле в точке(рис. 1.10а) создаётся током , где плотность тока. Площадь. Поэтому приследует.

а б

Рис. 1.10. Поле тока, текущего по цилиндру (а) и по трубе (б)

Таким образом,

1. при следует;

2. при следует;

3. при следует.

Поле тока, текущего по трубе. Для контроля труб также часто применяется циркулярное намагничивание. Рассуждая аналогично предыдущему, получим:

1. при следует;

2. при следует;

3. при следует.

График этой функции показан на рис. 1.10б. Видно, что внутренняя поверхность трубы при этом не намагничивается и магнитным методом невозможно обнаружить дефекты этой поверхности.

Электрический ток в магнитном поле. Магнитное поле, как мы определили его выше, есть поле сил, которые можно обнаружить по воздействию на проводник с электрическим током. Опыты по определению этой силы провёл Ампер и установил, что величина силы пропорциональна силе тока , напряжённости поляи длине участка проводника. К этому надо добавить ещё зависимость от направленияпо отношению к. Если параллельна , то = 0, а если_┴ , то достигает максимума. Окончательно закон Ампера выглядит следующим образом:

. (1.45)

Сила направлена перпендикулярно плоскости чертежа рис. 1.11 и определяется правилом буравчика (на рис. 1.11 - от читателя). В (1.45) размерный множитель связан с тем, что в системе СИ сила измеряется в ньютонах.

Рис. 1.11. Взаимодействие Рис. 1.12. Рамка с током в

магнитного поля и тока магнитном поле

Контур с током в однородном поле. Рассмотрим сначала плоскую прямоугольную рамку в однородном поле , которое направлено вдоль какой-либо оси рамки (рис. 1.12), иными словами, нормаль к рамке перпендикулярна к.

Из рис. 1.12 и изложенного выше следует, что стороны АС и ВД не будут испытывать силового воздействия. Сила на сторону АВ будет направлена перпендикулярно плоскости чертежа на читателя, а сила- на сторону СД от читателя. По величине они равны и составляют

, (1.46)

где = АВ = СД. Обозначив АС = ВД = , имеем пару сил с моментом

, (1.47)

где - площадь рамки.

Если рассматривать плоский контур с током произвольной формы в однородном магнитном поле, то рассуждения несколько усложняются (необходимо рассматривать воздействие на отдельные малые элементы, а затем их суммировать), но результат останется тем же самым: формула (1.47) окажется справедливой. Её можно представить в виде

, (1.48)

где величину можно назвать магнитным моментом контура. Это очень важная величина, причём ей можно придать векторный характер. Условимся за направлениепринимать направлениеположительной нормали к контуру с током.

На рис. 1.13 показан плоский контур с током в однородном поле,

которое лежит не в плоскости контура, а под углом к его нормали (₎. Очевидно, что можно разложить на две составляющие и, одна из которых () лежит в плоскости контура, а вторая () - перпендикулярна ему. При этом;.

Рис. 1.13. Произвольный контур с током в магнитном поле

Вращательный момент создаёт только составляющая , поэтому

, (1.49)

или в векторной форме

. (1.50)

Если мы возьмём контуров с током (витков), то получим соленоид, для которого справедливо всё изложенное выше, причём его.

Магнит в однородном поле. Для объяснения действия магнитного поля на постоянный магнит (магнитную стрелку в опытах Эрстеда) Ампер выдвинул гипотезу о молекулярных токах. Гипотеза заключается вот в чём: электрические токи могут быть не только макроскопическими, когда они текут по проводам, но и микроскопическими, в пределах одного атома или молекулы. Такой ток создаёт поле, подобное полю замкнутого кругового тока, но поскольку ориентация орбит хаотична, суммарное поле равно нулю.

Теперь представим, что орбиты (по неизвестной пока причине) ориентированы упорядоченно (рис. 1.14). В центральной части микротоки компенсируются, но на поверхности создаётся нескомпенсированный результирующий ток, то есть такой магнит создаёт поле, ничем не отличающееся от поля соленоида.

Рис. 1.14. Молекулярные токи Ампера

Разумеется, природа ферромагнетизма не столь проста, но измерениями магнитного поля (а их можно выполнить только снаружи магнита) мы, действительно, не сможем отличить магнит от соленоида. Поэтому постоянному магниту, как и соленоиду, можно приписать магнитный момент и распространить на него формулу (1.49).

Можно провести аналогию между магнитным моментом магнита и моментом электрического диполя. Электрический диполь состоит из двух зарядов и , отстоящих на расстоянии. Момент сил для него выражается

. (1.51)

Формально можно представить себе, что магнит состоит из двух (фиктивных!) магнитных зарядов ± m , расположенных на его торцах:

. (1.52)

Места расположения этих зарядов (т.е. торцы магнита) называют полюсами. Тот полюс, из которого магнитные силовые линии выходят, называют северным (N) и его заряд положителен +m. Другой полюс (торец) называют южным (S), а его заряду приписывают отрицательный знак.

В природе нет отдельных (несвязанных) магнитных зарядов, но многие физические задачи благодаря введению этого формализма получают достаточно простое математическое оформление и решение.