2.6 Выплаты p раз в году, а начисление процентов m раз в году

Определим теперь абсолютное значение наращенной суммы для наиболее общего случая: р - срочная рента с начислением процентов m раз в году.

Пусть С - это постоянная рента, начисляемая р раз в году. Число выплат ренты за k лет равно k·p. Количество начислений процентов в году равно m.

За период m/p года на каждую выплату С нарастают проценты в размере (1+)^m/p.

1. Если выплаты идут пренумерандо, то к концу k·p-ого периода сумма выплат составит

FV=C·(1+r/m)^m/p+ C· (1+r/m)^2m/p+···+ C· (1+r/m)^k·p·m/p=

=C· (1+r/m)^m/p· [1+ (1+r/m)^m/p+···+ (1+r/m)^(kp-1)·m/p].

Это сумма геометрической прогрессии с первым членом

C·(1+r/m)^m/p и частным q= (1+r/m)^m/p.

Она равна [7]

FV=C· (1+r/m)^m/p·.

При p=m эта формула плавно переходит в (2.1).

2. Если выплаты поступают постнумерандо, то к концу k-ого года сумма выплат составит

FV=C+ C(1+r/m)^m/p+···+ C(1+r/m)^{(kp-1)··m/p}

В этом случае

FV=C.

При p=m эта формула переходит в (2.2).

Обе формулы объединим в одну

FV=C·(1+r/m·тип)^m/p. (2.15)

тип=1 для выплат пренумерандо и тип=0 для выплат постнумерандо.

Уравнение эквивалентности приобретает вид

FV+PV(1+r/m)^m·k + C·(1+r/m·тип)^m/p =0 (2.16)

Из него можно определить любые из восьми величин FV, PV, c, r, k, m, p через остальные семь.

Пример 2.9

Создается страховой фонд фирмы общей суммой 10 млн. руб. Фонд должен быть создан в течение 5 лет. Взносы в фонд производятся ежемесячно пренумерандо. Проценты начисляются ежеквартально по процентной ставке 18% годовых. Определите размер платежа и сумму, накопленную через 3 года.

Р

Из (2.16)

С=

С=

Такую сумму фирме следует начислять ежемесячно в страховой фонд.

ешение.

PV=0

FV=10 млн. руб.

k=5

p=12

m=4

r=0,18

С=? FV(k=3) =?

Через 3 года сумма фонда составит

FV₃=

Динамика наращивания суммы фонда, рассчитанная в Excel, представлена таблицей (2.3) и графиком pис.(2.1)

Таблица (2.3)

Год	Сумма фонда
1	1,363722
2	2,989987
3	4,929337
4	7,242049
5	10

Рис. 2.1

К сожалению, при pm для расчета величин из уравнения (2.16) не применимы финансовые функции Excel. В частности, нельзя рассчитать номинальную процентную ставку r с помощью функции НОРМА. Однако, в Пакете анализа Excel есть средство для решения нелинейного уравнения (2.16).

Пример 2.10

Фирма дала дочерней фирме в кредит 3 млн. руб. с условием возвращения долга в течение 5 лет равномерными платежами по 0,2 млн. руб. ежеквартально постнумерандо при условии начисления процентов раз в полгода. Какова эффективность этой сделки?

Решение(с точки зрения дочерней фирме)

P

Решим эту задачу с помощью Excel.

Здесь изменяемый параметр r. Положим его вначале равным 0,1 (r=10%) - нулевое приближение. Уравнение (2.16) f(r)=0 относительно r будет в данном случае выглядеть так

(2.17)

Назовем f(r) функцией цели.

V=3 млн. руб.

FV=0

k=5

m=2

p=4

С=-0,2 млн. руб.

r=?

Выполнение

1. Вызываем Excel.

2. В ячейку А1 помещаем число 0,1 – это первоначальное значение r.

3. В ячейке А2 набираем функцию цели:

=3*(1+A1/2)^10-0,2*((1+A1/2)^10-1)/(КОРЕНЬ(1+A1/2)-1)

Получаем величину – 0,2066

4. Сервис – Поиск решения

5. В появившемся окне Поиск решения задаем:

5.1 Установить целевую ячейку $A$2 равной  значению 0, изменяя ячейки: А1

5.2 Выполнить.

Результат

В ячейке А1 появляется корень уравнения (2.17) r=0,118, в ячейке А2 – значение функции f (r)=3,85*10^-7  0 - машинный нуль.

Итак, в результате решения примера выяснилось, что эффективность подобной сделки r_эфф=11,8%. Если банк может обеспечить больший процент по вкладу, то с точки зрения головной фирмы сделка не выгодна, а с точки зрения дочерней – наоборот.