МУ ТМ_2015 / Сб. заданий по теоретич. механике Кинематика (Дрожжин, Баранова, Дадочкина и др)

		Рисунки к заданию 3.19
1.		2.		3.
				О		φ
	О					О
		М	R				М
x					D
	φ
М		D				α
		D		О1		a
О1
4.			5.			В
		2
					30°
S	1		О1
					О
		60°			φ
				А
		Рисунки к заданию 3.20
1.		2.		3.
О1		D				φ
			М	О
x
	D
		О1					D
	М	φ
	R	R		М		R
					O
4.	S	1	5.
					R1
						Е
		2
				А	О1	О R
	30°					D
				В

91

		Рисунки к заданию 3.21
1.		2.		3.
	О			а
	D		М			М
		О1			О	О1
	М
	45°			О		R
			O1
	А					D
			R
			D			φ
		О2
4.	В		5.		В
		А				φ
			С
	О			О1
						О
	С				А
		Рисунки к заданию 3.22

1.		2.				3.
М
							D	O
			D
		R		М		R		М
О
R								O1
О1							α
х			O	O1				φ
4.			5.			V1
D				В
						1
	К
А		В
				2	А		D
						30°	3
O
	С				О

92

Рисунки к заданию 3.23

1.		2.	3.
	М	О	М
	D	R
			a
О		А	D
		а
О1		О2	О1

φ

O R

М О1

D

a

4.	3	5.		М		А
		A
2	D		O	R
1
	30°	В
		Рисунки к заданию 3.24
1.		2.		3.
	М				φ
		М	R
	R					М
	О
х	D					α	D
		D
О1		О			O
4.		5.			М	А
		С
	S
				О	φ
	А	В
				О1
					R
	30°
O1	1

93

			Рисунки к заданию 3.25
1.		О	2.		½ R	3.
							φ
М	R					М
				R			R
		х					D
	D
				М	О1		O
					D
			O1	О
4.	О1			5.	R1
						1
		А			А
			VM
				2
С		М	D	R2	OA		О1
						О
	О2
		В

94

			4 ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
				ТВЕРДОГО ТЕЛА
	Плоскопараллельным (или плоским) движением твердого тела назы-
вают такое движение, при котором все его точки движутся в плоскостях, па-
раллельных некоторой плоскости П, принятой за неподвижную (рисунок
4.1).
	При таком движении тела любая прямая М1М, перпендикулярная не-
подвижной плоскости П, будет совершать поступательное движение и кине-
	у			матические характеристики всех точек,	лежащих
				на такой прямой, будут одинаковыми в конкрет-
		М1
			S	ный момент времени.
		М	х	Из этого следует, что для изучения движе-
О				ния тела, достаточно исследовать движение любо-
				го сечения S (плоской фигуры S), какой-нибудь
П				плоскостью Оxy, параллельной плоскости П.
				Для задания движения выбранного сече-
	Рисунок 4.1			ния S в плоскости Оxy, достаточно описать движе-
				ние любого отрезка АВ, принадлежащего этому
сечению. Положение отрезка АВ можно определить, зная координаты хА, уА
точки А, и угол			, который отрезок АВ образует с осью Ох (рисунок 4.2).
				Тогда уравнениями плоского	движения
у	S			тела (плоской фигуры) будут выражения:
			В	хА = f1(t), уА = f2(t), φА = f3(t).	(4.1)
уА	А	φ		Выбранную точку (А) называют полюсом.
				Уравнения движения полюса характеризуют по-
				ступательное движение плоской фигуры и это
			х	движение зависит от выбора полюса. Угол пово-
О	хА			рота вокруг полюса характеризует вращательное
				движение плоской фигуры вокруг полюса. Это
	Рисунок 4.2			движение не зависит от выбора полюса.
				Характерными примерами плоскопарал-
лельного движения тела являются:

1.Качение колеса по рельсу (дороге) в плоскости Оxy (рисунок 4.3);

2.Движение шатуна АВ кривошипно-шатунного механизма (рисунок 4.4).

у		у
	А	уА	А
уА	А
О	х	О	хА	В	х
	хА		Рисунок 4.4
	Рисунок 4.3

95

Скорость любой точки М плоской фигуры определяется как гео-

метрическая сумма скорости VA полюса А и скорости VMA , которую получает точка М при вращении фигуры вокруг полюса А (рисунок 4.5):

VM

VA

VMA ,

(4.2)

где VMA

MA , VMA МА,

−

угловая

скорость

вращения

фигуры

вокруг

VA

VA

d

полюса,

.

М

dt

Так как вектор ско-

А

рости VMA

перпендикулярен

V

M

отрезку МА, соединяющему

VMA

полюс А с выбранной точ-

кой М, то из этого вытекает

Рисунок 4.5

следствие: проекции скоро-

стей точек плоской фигу-

ры на прямую, проходящую через эти точки, равны между собой:

VA cos

VM

cos .

(4.3)

Угловую скорость плоской фигуры можно определить, используя понятие мгновенного центра скоростей.

Мгновенным центром скоростей (МЦС) называют геометрическую точку, принадлежащую плоской фигуре или еѐ мысленному продолжению, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Если угловая скорость вращения плоской фигуры не равна нулю

(

0), то МЦС существует и это единст-

венная точка. При известном положении

VB

МЦС скорости

точек

плоской

фигуры

B

при еѐ движении в своей плоскости опре-

деляются так, как если бы фигура враща-

VA

лась в этот момент времени вокруг МЦС

С

Р

А

с угловой скоростью

(рисунок 4.6), т.е.:

VA

AP (VA AP ) ,

VC

BP )и т.д.

(4.4)

V B

BP (VB

Рисунок 4.6

Этот вывод следует из формулы (4.2),

если за полюс принять мгновенный центр

скоростей − точку Р, скорость которой равна нулю.

Из рисунка 4.6 видно, что МЦС расположен на перпендикуляре, про-

веденном из любой точки плоской фигуры к вектору еѐ скорости, и

угловая

скорость плоской фигуры равна отношению скорости какой-либо еѐ точки к длине отрезка, соединяющего эту точку с МЦС:

96

	VA		VB		.				(4.5)
	AP		BP
Способы построения мгновенного центра скоростей
1. Если известны направления скоростей VA и VB									двух точек плоской

фигуры, то МЦС − это точка пересечения перпендикуляров, проведенных из точек А и В к векторам их скоростей (рисунок 4.7,а).

2. Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу и перпендикулярны отрезку АВ, то МЦС это точка пересечения прямой АВ и

прямой, проходящей через концы векторов VA и VB , т.к. модули скоростей

точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до МЦС (рисунки

4.7, b, c).

3. Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу,

но не перпендикулярны отрезку АВ, или перпендикулярны АВ, но VA = VB ,

то МЦС лежит в бесконечности, т.к. перпендикуляры к VA и VB , проведенные из этих точек не пересекаются (рисунки 4.7, d). Угловая скорость тела в

	этот момент времени равна нулю (	im	VA	0 ). Такое движение называ-
			AP
		AP

ется мгновенным поступательным и скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны друг другу по модулю и по направлению.

4.Если тело А катится без скольжения по неподвижной поверхности тела

В(рисунок 4.7, e), то точка касания Р имеет в данный момент времени ско-

рость, равную нулю и, следовательно является МЦС (VP = 0, так как точки касания обоих тел при отсутствии скольжения должны иметь одинаковые скорости, а тело В неподвижно).

а)	B V		b)	А	VA	c)	А	VA
VB
		A
	А			B	VB		Р
	Р			Р		VB		B
d)	А		А	VA		e)	А
	VA
B
	VB
			B	VB		В	Р

Рисунок 4.7

97

Ускорение a M любой точки М плоской фигуры равно векторной сумме ускорения a A какой-либо другой точки А, принятой за полюс, и ускорения aMA , которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса:

A

MA .

(4.6)

a

M

a

a

Ускорение

MA ,

как и в случае вращения тела вокруг неподвижной оси, со-

a

стоит из касательной и нормальной составляющих:

MAn

MA ,

(4.7)

a

MA

a

a

где an

2 MA , a

MA ,

aMA

MA

MA

М

, − угловая скорость и угловое ус-

a A

корение при вращении фигуры вокруг

a

MA

полюса.

Ускорение

MA направлено

a

n

a M

aMA

перпендикулярно отрезку МА в сторону

углового ускорения , а ускорение

MAn

a

А

a

A

направлено от точки М к полюсу А (ри-

Рисунок 4.8

сунок 4.8).

Тогда выражение (4.6) принимает вид:

A

MAn

MA .

(4.8)

a

M

a

a

a

Модуль ускорения определяется проецированием равенства (4.8) на две произвольно выбранные координатные оси:

a	M	a2	a2	.	(4.9)
		Mx	My

Пример 1. Механизм состоит из зубчатых колес 1 и 2, и кривошипа 3. Колесо 1 неподвижно, кривошип 3 (ОА) вращается с угловой скоростью ω3 и угловым ускорением 3. Определить скорость и ускорение точки М колеса 2 при заданном положении звеньев механизма и точки М.

Дано: R1 = 20 см, R2 = 16 см, ω3 = 2 рад/с; 3 = 1 рад/с2. Определить: VM , aM .

Решение.

1

3

2

Колесо 1 неподвижно; кривошип 3 со-

3

вершает

вращательное

движение, колесо 2

А

движется плоскопараллельно. Для колеса 2 за

О

R2

полюс принимаем точку А, т.к. задано движе-

R1

ние кривошипа. Определим скорость и уско-

ω3

рение полюса (рисунок 4.9):

М

VA

3 OA

3 ( R1

R2 )

2 36 =72 см/с,

Рисунок 4.9

aAn

32 OA 22

36

144 см/с2,

98

aA = 3 OA 136 36 см/с2.

Построим эти векторы на рисунке 4.10.

Определяем угловую скорость колеса 2 используя понятие МЦС, который расположен в точке Р зацепления колес,

							VA	,	(*)
						2	AP
где АР = R2, тогда		VA		72	4,5	рад/с.
	2	R2	16

Из выражения (*) видно, что 2 уменьшается, т.к. точка А движется замедленно, а расстояние АР постоянно.

у

Скорость точки М определится

из выражения:

2

VM =

2 ·MP = = 4,5 R2

2 4,5 16 2

a A

2

101,5 см/с

a n

А

Ускорение

точки

определится

A

из выражения (4.8):

Р

ω2

VA

aM

aA

aMAn

aMAф ,

n

т.к. полюс движется по криволинейной

aMA

х

aAn

траектории

aA

aA

и выражение

VM

М

aMA

(4.8) принимает вид:

aM

aAn

aA

aMAn

aMA ,

(**)

Рисунок 4.10

aMAn

=

22

MA = 4,52·16 = 324 см/с2,

aMA = 2 MA , где МА = R2.

Угловое ускорение 2 в данной задаче можно определить, учитывая, что расстояние от точки А до МЦС не изменяется:

	d 2		d	(	VA	)	1		dVA
2	dt		dt PA				PA		dt

1

d( 3 OA )

OA

d

3

R1 R2

36

1 2,25 рад/с2,

PA

dt

PA

dt

R2

3

16

a

MA

=

2

R

= 2,25·16 = 36 см/с2.

2

Проецируем векторное равенство (**) на выбранные оси Мx и Мy:

аМх =	n	akx = aMA		aAn		= 36 − 144 = − 108 см/с2,
k	1
аМy =		n aky = aA		aAn		= 324 + 36 = 360 см/с2,
	k	1
aM =			aM2 x aM2 y	1082 3602 376 см/с2.

99

Ответ: VM = 101,5см/с, aM = 376 см/с2.

Пример 2. Механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2 шарнирами

(рисунок 4.11).

Дано: = 60°,

= 150°, = 90°, = 30°, = 30°, АD = DВ, длины

4

стержней: ℓ1 = 0,4 м, ℓ2 = 1,2 м, ℓ3 = 1,4 м,

ω1 = 2 рад/с, ε1 = 7 рад/с2 (направление ω1

E

О1

и ε1 − против хода часовой стрелки).

2

Определить: VB , VE , 2 ,

B , 3 .

a

B

3

Решение.

D

А

1. Строим положение механизма в со-

1

ответствии с заданными углами (рисунок

О

4.12). На этом же рисунке изображаем

все векторы скоростей.

Рисунок 4.11	2. Определяем VB. Точка В принадле-

жит стержню АВ. Чтобы найти VB , надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление VB . По данным задачи определим модуль

VA :

			VA = 1·ℓ1 = 0,8 м/c, V A			O1 A .
						O2
					E	4
				Р2	60°
						VE
				2
	А				2
V A
			30°	D
1					3
						V B
		1		VD
		60°				B
			О1		60°
						30°

3

Р3

Pисунок 4.12

100