МУ ТМ_2015 / Сб. заданий по теоретич. механике Кинематика (Дрожжин, Баранова, Дадочкина и др)
.pdf
координат выбрано в одной точке окружности. Через какой промежуток времени одна из точек догонит другую, если радиус окружности равен 16 см?
1.15.4. Точка движется согласно уравнениям х = 2cosπt, у = cos2πt (x,y – м, t – с). Найти уравнение траектории, по которой движется точка. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу.
1.15.5. Найти уравнение |
траектории точки, движущейся по закону |
х = 6cosπt2, у = 8 – 6sinπt2 (х, у |
м, t с). Определить положение, скорость, |
ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 0,5 c.
1.15.6. Точка В механизма движется по закону S = 0,4∙sinπt (S − м, t – с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = ¾ с, t2 = 2 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = ¾ с, если АВ = 4 ВМ = 0,4 м.
Задание 1.16
1.16.1. Точка движется по окружности радиусом 32 м согласно уравнению S = 1,6 t4 (S − м, t – с). Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда радиус окружности, соединяющий еѐ центр с точкой, опишет
угол, равный 5
радиан.
4
1.16.2.С какой высоты совершил затяжной прыжок парашютист, если за две секунды до раскрытия парашюта он имел скорость в 10 раз большую, чем спустя две секунды после отделения от вертолета? Сопротивление воздуха и начальную скорость парашютиста не учитывать. Парашют был раскрыт на высоте 800 м.
1.16.3.Точка совершает криволинейное движение так, что величина еѐ скорости в зависимости от времени выражается уравнением V = ℓn(1+t) (V – м/с, t – с). Найти зависимость между касательным ускорением точки и еѐ скоростью.
1.16.4. Точка движется согласно уравнениям х = 4t2 – 1, у = 2t (х, у м,
t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу.
21
1.16.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону х = 4sin2πt, у = 4cos2πt (х, у м, t с). Определить положение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кри-
визны траектории при t = 16 с.
1.16.6. Точка В механизма движется по закону S = 0,8sin2πt (S − м, t – с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0,
t1 = 16 с, t2 = 14 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в
координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить
скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1/6 с, если АВ = 0,8 м, ВМ = 1,2 м.
Задание 1.17
1.17.1. Точка движется по криволинейной траектории. Найти закон движения точки по траектории, отсчитывая дуговую координату S от начального положения, если величина касательного ускорения изменяется по закону аτ = 20sin 2t (а
− м/с2, t – с), а начальная скорость равна нулю.
1.17.2. Точка движется равноускоренно без начальной скорости по криволинейной траектории. Определить через какой промежуток времени ускорение точки достигнет значения 5 м/с2, а его касательная и нормальная составляющие станут равными по модулю. Найти расстояние, пройденное точкой за это время, если радиус кривизны траектории равен 1 м.
1.17.3. Точка движется с ускорением a = 2 i 2 j из начала координат, имея начальную скорость V 0 3i , где i , j − орты декартовой системы коор-
динат. Найти уравнение траектории и величину минимальной скорости точки.
1.17.4. Точка движется согласно уравнениям х = 2t, у = t 2 1 (х, у м,
t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу.
1.17.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону
х = 4cos |
t |
– 1, у = 4sin |
t |
(х, у м, t с). Определить положение, скорость, |
|
4 |
4 |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
22 |
ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = ⅔ с.
1.17.6. Звено ОВ механизма движется по закону φ = |
t |
( − рад, t – с). |
|
12 |
|||
|
|
||
Построить положение звеньев механизма в моменты |
времени t0 = 0, |
||
t1 = 2 c, t2 = 4 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить ско-
рости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 2 c, если ОВ = АВ = АМ = 0,6 м.
Задание 1.18
1.18.1. Точка движется по окружности радиусом 23 м по закону S = t3 + 2t2 + 3t (S − м, t – с). Определить нормальное ускорение точки в момент времени, когда еѐ касательное ускорение равно 16 м/с2.
1.18.2.Точка движется равномерно и прямолинейно со скоростью 10 м/с, а через 3 секунды после начала движения начинает двигаться равнозамедленно и проходит до остановки 100 м. Найти общее время движения точки и расстояние, пройденное за это время.
1.18.3.Точка движется с постоянной по величине скоростью в плоско-
сти Оху. Вектор скорости V образует с осью Ох переменный угол α = 2t (α – рад, t – с). Определить траекторию точки и величину еѐ ускорения, если в
начальный момент времени точка находилась в начале координат, |
и |
V0 = 2 м/с 2. |
|
1.18.4. Точка движется согласно уравнениям х = 2t2 – 4t, у = 4t (х, у |
м, |
t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда еѐ скорость параллельна оси Оу.
1.18.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону
х = 4cos |
t |
– 1, у = 4sin |
t |
(х, у м, t с). Определить положение, скорость, |
|
4 |
4 |
||||
|
|
|
ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1 c.
1.18.6. Звено ОВ механизма движется по закону φ = |
t |
( − рад, t – с). |
|
2 |
|||
|
|
Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = ⅔ c, t2 = 2 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и
23
ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = ⅔ c, если ОВ = АВ = 5 ВМ = 1 м.
Задание 1.19
1.19.1.Точка движется по криволинейной траектории согласно уравнению S = 5t – 0,5t2 (S − м, t – с). Определить время t1, когда еѐ нормальное ускорение станет равным нулю. Чему в этот момент времени равно ускорение точки?
1.19.2.Точка, двигаясь по окружности радиусом 1 м равноускоренно без начальной скорости, совершает 10 оборотов за 2 минуты. Найти скорость
иускорение точки после того, как она завершила пятый оборот с начала движения.
1.19.3.Конькобежец, двигаясь равномерно по беговой дорожке стадиона, проходит путь длиной 1000 м за 1 мин 15 с. Дорожка состоит из двух прямолинейных и двух криволинейных участков, имеющих вид полуокружностей радиусом 30 м. Определить наибольшее и наименьшее по величине ускорения.
1.19.4. Точка движется согласно уравнениям х = 2t, у = 4t(1 – t) (х, у м,
t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда точка находится в наивысшем положении траектории.
1.19.5. Найти уравнение |
траектории точки, движущейся по закону |
х = 16sin3πt2, у = 16cos3πt2 (х, у |
м, t с). Определить положение, скорость, |
ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = ⅓ с.
1.19.6. Звено ОВ механизма движется по закону φ = πt ( − рад, t – с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = ⅓ c, t2 = 1 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и
ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = ⅓ c, если ОВ = АВ = СВ = СМ = 0,12 м.
Задание 1.20
1.20.1. Точка движется по закону S = 0,5t3 – 0,3t2 (S − м, t – с). Определить радиус кривизны траектории точки и ее полное ускорение в тот момент
24
времени, когда вектор скорости, равный по модулю 0,9 м/с, составляет с вектором ускорения угол 60°.
1.20.2.Точка движется по окружности радиусом 2 м равнозамедленно с начальной скоростью 100 м/с. Определить промежуток времени, за который модуль нормального ускорения станет в 4 раза меньше его первоначального значения, и путь, пройденный точкой с начала движения до остановки, если она двигалась 10 секунд.
1.20.3.Точка движется по окружности радиусом R = 0,8 м по уравнению S = 0,16t3 (S − м, t – с). Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда еѐ нормальное ускорение аn = 0,288 м/с 2.
1.20.4. Точка движется согласно уравнениям х = |
1,5 |
, у = 1 – 2t (х, у м, |
|
t 1 |
|||
|
|
t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Ох.
1.20.5. Найти уравнение |
траектории точки, движущейся по закону |
х = 18sint, у = 9 – 18cost (х, у |
м, t с). Определить положение, скорость, |
ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 3 с.
1.20.6. Точка В механизма движется по закону S = 0,8sin 3t (S − м, t – с).
Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 1 с, t2 = 3 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1 с, если АВ = АМ = 0,8 м.
Задание 1.21
1.21.1. Точка движется по закону S = 40sin |
t |
+ 30 (S − м, t – с). Найти |
|
4 |
|||
|
|
радиус кривизны траектории и ускорение точки в момент, когда вектор скорости, модуль которого равен 5π м/с, составляет с вектором ускорения угол
30°.
1.21.2. Точка, двигаясь по окружности равнозамедленно с начальной скоростью 10 м/с, остановилась, совершив два полных оборота. Найти скорость и ускорение точки в середине пути, если радиус окружности равен 7 м.
25
1.21.3. Камень брошен вверх с начальной скоростью 34,3 м/с. Опреде-
лить его скорость на высоте 29,4 м. Сопротивлением воздуха пренебречь.
(g = 9,8 м/с 2).
1.21.4. |
|
Точка |
движется согласно уравнениям х = 1 – 2sin |
t |
, |
|
|
6 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
у = 1 – cos |
|
t |
(х, у |
м, t с). Найти уравнение траектории, по которой дви- |
||
|
6 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
жется точка. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда еѐ скорость параллельна оси Оу.
1.21.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону х = 4t, у = 4t2 – 3t (х, у м, t с). Определить положение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны тра-
ектории при t = 0 c. |
|
|
|
1.21.6. Звено ОВ механизма движется по закону φ = |
t |
( − рад, t – с). |
|
3 |
|||
|
|
Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 1 c, t2 = 3 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и
ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1 c, если ОВ = АВ = 6 ВМ = 1,2 м.
Задание 1.22
1.22.1. Точка движется по закону S = 0,2t2 + 0,6 (S − м, t – с). Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда угол между ними
равен 30°, а радиус кривизны траектории 3 
3 м.
1.22.2.Точка движется по окружности равноускоренно без начальной
скорости. Через 10 с после начала движения ускорение точки достигает значения 2 м/с2. Определить скорость точки и угол между еѐ скоростью и ускорением в указанный момент времени, если радиус окружности равен 20 м.
1.22.3.Точка движется по прямой замедленно с ускорением, пропорциональным квадрату скорости и равным 1 м/с2 при скорости 5 м/с. Начальная скорость точки 20 м/с. В какой момент времени скорость точки уменьшится до 4 м/с, и какой путь пройдет точка за это время?
1.22.4. |
Точка движется согласно уравнениям х = cos |
t |
, у = 3cos |
t |
|
4 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
||
(х, у м, t |
с). Найти уравнение траектории, по которой движется точка. |
||||
26
Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу.
1.22.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону
х = 4sin |
3 t 2 |
, у = 4cos |
3 |
t 2 |
(х, у м, t с). Определить положение, скорость, |
2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = ⅓ с.
1.22.6. Точка В механизма движется по закону S = 0,4sin |
t |
(S − м, |
|
3 |
|||
|
|
t – с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 1 с, t2 = 3 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1 с, если АВ = 4 ВМ = 0,4 м.
Задание 1.23
1.23.1 Точка движется по закону S = 5t2 t (S − м, t – с). Определить скорость, ускорение и радиус кривизны траектории в момент времени t = 1 с, когда нормальное ускорение точки равно 9 м/с2.
1.23.2.Точка движется прямолинейно с начальной скоростьюV0 = 10 м/с
ипостоянным ускорением а = 2 м/с2, причем вектор ускорения направлен
противоположно V 0 . Определить время, по истечении которого величина скорости достигнет значения 20 м/с, и расстояние, пройденное точкой за это время.
1.23.3. Точка движется в плоскости с постоянной по величине скоро-
стью V0 = 5 м/с по траектории, |
уравнение которой |
x 2 |
|
y 2 |
= 1. Найти наи- |
||||||
|
22 |
||||||||||
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|||
меньшее по величине ускорение точки. |
|
|
|
|
|||||||
1.23.4. |
|
Точка |
движется |
согласно уравнениям |
х |
= 4 + cos |
t |
, |
|||
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
у = 3 – 2sin |
t |
(х, у |
м, t с). Найти уравнение траектории, по которой дви- |
||||||||
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
жется точка. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда еѐ скорость параллельна оси Оу.
27
1.23.5. Найти уравнение |
траектории точки, движущейся по закону |
х = 3sinπt, у = 5cos2πt (х, у м, t |
с). Определить положение, скорость, уско- |
рение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1/6 с.
1.23.6. Точка В механизма движется по закону S = 1 cos 12t (S − м, t – с).
Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 4 с, t2 = 12 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 4 с, если АВ = АМ = 1 м.
Задание 1.24
1.24.1.Точка движется по закону S = 10t3 – 20t2 – 80t (S − м, t – с) Найти скорость и ускорение точки в момент времени, когда она вернется в начальное положение, если в этом месте траектории радиус кривизны равен 20 м.
1.24.2.Точка, совершая равнозамедленное движение, проходит до остановки путь, равный 20 м за 10 секунд. Определить начальную скорость точки, а также еѐ скорость на середине пройденной дистанции.
1.24.3.От самолета, летящего со скоростью 300 км/ч на высоте 4 км, отделяется груз и падает с ускорением g = 9,8 м/с2. Определить дальность и время падения груза на землю.
1.24.4. |
Точка движется согласно уравнениям х = 4t – 4 , у = |
4 |
|
t 1 |
|||
(х, у м, t |
с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и ука- |
||
зать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу.
1.24.5. Найти уравнение |
траектории точки, движущейся по закону |
х = 6sin2πt, у = 12cos2πt (х, у |
м, t с). Определить положение, скорость, |
ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1/6 с.
1.24.6. Звено ОА механизма движется по закону φ = |
t |
( − рад, t – с). |
|
12 |
|||
|
|
Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 2 c, t2 = 3 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 2 c, если ОМ = 0,4 м, ℓ = 0,6 м.
28
Задание 1.25
1.25.1.Точка движется по окружности радиусом 48 м по закону S = 4t3 (S − м, t – с). Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда модули касательного и нормального ускорений равны между собой.
1.25.2.Точка движется равнопеременно по произвольной траектории. За
время движения t1 = 2 с точка приобрела скорость V1 = 10 м/с, а через t2 = 5 с скорость стала V2 = 40 м/с. Определить расстояние, пройденное точкой за промежуток времени. ∆t = t2 – t1.
1.25.3.Зенитная самонаводящаяся ракета стартует с поверхности Земли вертикально и движется в вертикальной плоскости с постоянной по величине скоростью V. Вектор скорости все время направлен на самолет, который движется равномерно и прямолинейно со скоростью U на высоте Н. Найти уравнение траектории ракеты, если скорость ракеты в 2 раза больше скорости
самолѐта, и в момент старта ракеты (t0 = 0), она находилась в начале координат, а самолет – на одной с ней вертикали (ось Оу). Ось Ох направить в сторону движения самолета.
1.25.4.Точка движется согласно уравнениям х = 9,8t, у = 4,9(2 – t2)
(х, у м, t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она занимает наивысшее положение на траектории.
1.25.5. Найти уравнение |
траектории точки, движущейся по закону |
х = 40cosπt2, у = 40sinπt2 (х, у |
м, t с). Определить положение, скорость, |
ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = ½ с.
1.25.6. Звено ОВ механизма движется по закону φ = |
t |
( − рад, t с). |
|
4 |
|||
|
|
Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = ⅔ c, t2 = 2с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при
t1 = ⅔ c, если ОВ = СВ = АВ = АМ = 0,6 м.
29
|
|
Рисунки к задачам 1.01.6 – 1.25.6 |
|
|
|
|
|
1. |
у |
2. |
у |
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
|
φ |
А |
|
|
|
|
х |
|
|
х |
|
|
|
||
|
О |
|
О |
S |
|
В |
|
3. |
|
М |
4. |
у |
|
|
|
|
О |
|
у |
А |
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|
|
М |
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
О |
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
S |
|
В |
|
|
|
|
|
|
||
5. |
|
|
6. |
|
|
|
|
|
О |
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
О |
|
С |
|
|
|
А |
|
|
φ |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
С |
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
М |
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
7. |
у |
|
8. |
|
О |
|
у |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|
|
А |
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
О |
|
М |
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
х |
|
|
30