МУ ТМ_2015 / Сб. заданий по теоретич. механике Кинематика (Дрожжин, Баранова, Дадочкина и др)

1.03.3. Точка движется по некоторой траектории согласно закону

	S =	t 3		t 2		(S – м, t – с). Определить в какой момент времени скорость
					1
		12	2

точки достигает наибольшего значения.

1.03.4. Точка движется согласно уравнениям х = t, у = 0,5t2 – t (х, у м, t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда еѐ скорость параллельна оси Ох.

1.03.5. Найти уравнение	траектории точки, движущейся по закону
х = 3sinπt2, у = 3cosπt2 – 2 (х, у	м, t с). Определить положение, скорость,

ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 0,5 c.

	1.03.6. Звено ОС механизма движется по закону φ = 3πt (	− рад,	t – с).
	Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0	= 0, t1	=	1	c
				18

и t2 = 16 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в коорди-

натной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 181 с, если АС = ОС = ВС = АМ = 0,1 м.

Задание 1.04

1.04.1.Точка движется по окружности радиусом 24 м по закону S = 2t3 (S − м, t – с). Найти скорость и полное ускорение точки в момент времени, когда еѐ нормальное и касательное ускорения равны между собой.

1.04.2.Точка, двигаясь равнозамедленно по окружности, за 0,5 с, прошла путь S = 2 м, равный половине длины окружности. Определить скорость, ускорение, его касательную и нормальную составляющие в конце пути, если начальная скорость точки равна 5 м/с.

1.04.3. Точка движется по некоторой траектории согласно закону

	S =	t 4		t 3	t 2 (S м, t с). Определить момент времени t1, когда еѐ скорость
		12	2

приобретает наибольшее значение.

1.04.4. Точка движется согласно уравнениям х = 3t , у = 6t – 3t2 (х, у м, t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ

11

часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда еѐ скорость параллельна оси Ох.

1.04.5. Найти уравнение	траектории точки, движущейся по закону
х = cos3πt2, у = sin3πt2 (х, у м, t	с). Определить положение, скорость, уско-

рение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = ⅓ с.

1.04.6. Точка В механизма движется по закону S = 0,45sin3πt (S − м, t – с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0,

t1 = 181 c и t2 = 16 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в

координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в

точке М при t1 = 181

с, если АВ = 0,45 м, АМ = 0,3 м.

Задание 1.05

1.05.1.Точка движется согласно уравнению S = 0,6t2 (S − м, t – с). Найти нормальное ускорение точки в момент времени, когда еѐ дуговая координата S1 = 0,3 м, а радиус кривизны траектории ρ = 15 м.

1.05.2.При отходе от станции поезд движется равноускоренно по дуге окружности радиусом 800 м. Пройдя путь 300 м, он приобрел скорость 12 м/с. Определить время движения поезда и его ускорение в конце этого участка пути.

1.05.3.Сколько времени продолжалось свободное падение груза, если за последнюю секунду он пролетел путь в три раза меньший, чем за все предыдущее время? Начальной скоростью пренебречь.

1.05.4.	Точка движется согласно уравнениям х = 3 + 4sinπt,
у = 5cosπt (х, у	м, t с). Найти уравнение траектории, по которой движется

точка. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Ох.

1.05.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону х = 6t2 + 6t, у = 6t (х, у м, t с). Определить положение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 0 c.

12

1.05.6. Звено ОА механизма движется по закону φ = πt ( − рад, t – с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = ⅓ c, t2 = ½ с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при

t1 = ⅓ c, если АО = 0,6 м, СМ = 1,2 м.

Задание 1.06

1.06.1.Точка движется по окружности радиусом 4 м согласно уравнению S = 0,8t2 (S − м, t – с). Определить дуговую координату точки в момент времени, когда еѐ нормальное ускорение равно 2,5 м/с 2.

1.06.2.С вертолета, вертикально поднимающегося с постоянной скоростью 2 м/с, в некоторый момент времени сбрасывается груз. На какой высоте

находился вертолет, если свободное падение груза продолжалось 18 с? Считать g ≈ 10 м/с 2.

1.06.3. Точка движется по криволинейной траектории по закону S = 10 – 5sint (S − м, t – с). Найти скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие в моменты времени, когда еѐ скорость и ускорение взаимно перпендикулярны, если радиус кривизны траектории в эти моменты равен 10 м.

1.06.4.	Точка движется согласно уравнениям х = 2sin	t	, y = cos	t
		4		4
(х, у м, t	с). Найти уравнение траектории, по которой движется точка. Оп-

ределить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу.

1.06.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону х = 3t + 1, у = 9t2 – 3t (х, у м, t с). Определить положение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 0 c.

1.06.6. Звено СА механизма движется по закону φ = πt2 ( − рад, t – с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = ½ с,

t2 = ⅔ c. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = ½ c, если ОС = СА = 0,4 м, ОМ = 0,3 м.

13

Задание 1.07

1.07.1. Найти радиус кривизны траектории точки и еѐ ускорение в тот момент, когда векторы скорости и ускорения совпадают по направлению.

	Закон движения точки по траектории имеет вид S = 5 + sin			t	(S − м, t – с), а
				3
	модуль скорости в этот момент времени равен		м/с.
		6

1.07.2. Найти закон движения точки по криволинейной траектории, считая аτ = const, если в момент времени t1 = 3 с после начала движения (t0 = 0) точка имеет скорость V1 = 6 м/с, а в момент времени t2 = 6 с скорость равную

V2 = 18 м/с.

1.07.3. Точка равномерно движется по плоской траектории, радиус кривизны которой задан как функция времени ρ = t (1 – 0,5t) (ρ – м, t – с). В какой момент времени ускорение точки максимально?

1.07.4. Точка движется согласно уравнениям х = − 3t, у = 6t – 3t2(х, у м, t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в мо-

	мент времени, когда			еѐ скорость параллельна оси Ох.
	1.07.5.		Найти	уравнение		траектории	точки, движущейся по закону
	х = 30sin	t 2	, у = 30 – 30cos		t 2	(х, у м, t	с). Определить положение, ско-
		6			6

рость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1 c.

	1.07.6. Звено ОВ механизма движется по закону φ =	t	( − рад, t – с).
		3

Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 1 с, t2 = 3 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1 c, если ОВ = ВА = 2ВМ = 0,4 м.

Задание 1.08

1.08.1. Точка движется по окружности радиусом R = 2 м с нормальным ускорением, изменяющимся по закону аn = 2t4 (аn – м/с2, t – с). Найти закон движения точки по траектории, отсчитывая дуговую координату от начального положения. Определить скорость точки при t = 2 с.

14

1.08.2. Точка, имевшая начальную скорость VО = 3 м/с, получила постоянное касательное ускорение, равное по модулю 1 м/с2 и направленное в

сторону, противоположную VO . Найти путь, пройденный точкой за 10 с, и еѐ дуговую координату S в конце десятой секунды, если SО = 5 м.

1.08.3.Два велосипедиста начали одновременно движение с места с постоянными ускорениями а1 = 1,5 м/с2 и а2 = 0,75 м/с2. Какой из них наберет большую скорость: первый на полукилометре или второй на километре дистанции?

1.08.4.Точка движется согласно уравнениям х = 2sin 2t , у = 6cosπt

(х, у м, t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу.

1.08.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону х =

	12cos	t 2	– 12, у = 12 sin	t 2	+ 4 (х,у м, t с). Определить положение, ско-
		8		8

рость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 2 c.

	1.08.6. Звено ОВ механизма движется по закону φ =	t	( − рад, t – с).
		6

Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 1c, t2 = 3с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1 c, если ОВ = АВ = АМ = 0,2 м.

Задание 1.09

1.09.1. Точка движется по некоторой траектории согласно закону S = 0,5t3 (S − м, t – с). Как должен меняться радиус кривизны траектории в функции времени движения по ней точки, чтобы в любом месте траектории касательное и нормальное ускорения были по модулю равны?

1.09.2. Поезд, двигаясь по закруглению равноускоренно, приобретает через 3 мин после отхода от станции скорость 54 км/ч. Определить ускорение поезда через 2 мин после отхода от станции, если радиус закругления равен

500 м.

15

1.09.3. Через 2 секунды после падения камня в колодец был услышан плеск воды. Определить глубину колодца, если скорость звука равна 330 м/с.

	1.09.4. Точка движется согласно уравнениям х = 2t , у =		2	(х, у м,
		t	1

t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу.

1.09.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону

	х = 6sin	t	+ 2, у = 8cos	t	(х, у м, t с). Определить положение, скорость,
		2		2

ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1 c.

	1.09.6. Звено ОМ механизма движется по закону φ =	t	( − рад, t – с).
		12

Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 2 c, t2 = 3 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 2 c, если ОМ = 2ℓ = 1 м.

Задание 1.10

1.10.1.Точка движется по окружности радиусом R = 50 м со скоростью V = 2t (V – м/с, t – с). Найти ускорение точки в момент времени t = 5 с и закон еѐ движения по траектории, если S0 = 0.

1.10.2.Торможение поезда, движущегося со скоростью 36 км/ч, начинается за 200 м до остановки. Считая движение равнопеременным, найти время торможения и касательное ускорение поезда.

1.10.3.Точка движется равноускоренно из состояния покоя по окружности. Доказать, что между углом α, составляемым ускорением точки с каса-

тельной к окружности, и центральным углом β, соответствующим пройденной дуге, существует зависимость tg α = 2β.

1.10.4. Точка движется согласно уравнениям х = cos2πt, у = 2sinπt + 2 (х, у м, t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда еѐ скорость параллельна оси Оу.

16

	1.10.5.		Найти уравнение траектории			точки, движущейся по закону
	х = 6sin	t 2	, у = 6 – 6cos	t 2	(х, у м, t	с). Определить положение, ско-
		4		4

рость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1 c.

1.10.6. Точка В механизма движется по закону S = 0,6cosπt (S − м, t – с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 1/6 с и t2 = 1/2 c. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и

ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1/6 с, если АВ = 3АМ = 0,6 м.

Задание 1.11

1.11.1. Точка движется по окружности радиусом 4 м по закону S = 4t + 4t2 (S − м, t – с). Найти скорость и ускорение точки в момент времени, когда угол между их векторами равен 45°.

1.11.2.Точка движется равноускоренно из состояния покоя по окружно-

сти радиусом 5 м. Через 2 с еѐ нормальное ускорение достигло значения 9,8 м/с2. Найти путь, пройденный точкой за 4 с после начала движения.

1.11.3.Два автомобиля, находящиеся в исходный момент времени на

расстоянии 1200 м, движутся навстречу друг другу. Первый с ускорением а1 = 0,2 м/с2, а второй с замедлением а2 = 0,3 м/с2. Какова должна быть начальная скорость второго автомобиля, чтобы в момент встречи он остановился, если первый автомобиль имел начальную скорость 80 км/ч?

1.11.4.Точка движется согласно уравнениям х = 4t2– 4t + 1, у = 2t

(х, у м, t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда еѐ скорость параллельна оси Оу.

1.11.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону

х = 6∙sin	t	2
	6

, у = 6∙cos	t	2	(х, у м, t с). Определить положение, скорость,
	6

ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1 c.

1.11.6. Точка В механизма движется по закону S = 0,8∙cosπt (S − м, t – с). Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = ⅓ с, t2 = ½ с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координат-

17

ной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при

t1 = ⅓ с, если АВ = 4АМ = 0,8 м.

Задание 1.12

1.12.1.Точка движется по закону S = t3 (S − м, t – с). Найти ускорение точки и радиус кривизны еѐ траектории в момент времени, когда вектор скорости, равный по модулю 12 м/с, составляет с вектором ускорения угол 60°.

1.12.2.Точка движется по окружности радиусом 1 м равноускоренно из состояния покоя и совершает первый полный оборот за 10 с. Определить скорость и ускорение точки в конце этого промежутка времени.

1.12.3.Из аэростата, поднимающегося вертикально вверх с ускорением 1 м/с2, когда его скорость равнялась 10 м/с, а высота 150 м, был сброшен мешок с песком. Через какое время мешок упадет на землю, и на какой высоте будет находиться в этот момент аэростат?

1.12.4.	Точка движется согласно уравнениям х = 3cosπt, у = 3sin	t
		2
(х, у м, t	с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и ука-

зать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда еѐ скорость параллельна оси Оу.

	1.12.5.	Найти уравнение траектории				точки, движущейся по закону
	х = 3 + 12sin	t	, у = 6cos	t	(х, у м, t	с). Определить положение, ско-
		6		6

рость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1 c.

	1.12.6. Звено СА механизма движется по закону φ =	t	( − рад, t – с).
		4

Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = ⅔ c, t2 = 2 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при

t1 = ⅔ c, если ОВ = 4ВМ = 2ОС = 2АС = 1,2 м.

Задание 1.13

18

1.13.1. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности ра-

2	t	2
диусом 2 м, равно аn = 4cos		(аn – м/c , t – с). Найти закон движения точки
	4

по траектории, отсчитывая дуговую координату от начального положения. Определить модуль скорости и ускорения точки через 1 с после начала движения.

1.13.2.Ракета после старта с поверхности Земли движется равноускоренно и в конце активного участка траектории достигла высоты 30 км, имея

скорость 7200 км/час. Считая дальнейшее движение ракеты равнозамедленным с ускорением, равным по модулю 9,2 м/с2, определить полную высоту подъема ракеты и время движения с момента старта до наивысшей точки.

1.13.3.Считая движение снаряда в канале ствола равноускоренным, определить изменение его скорости при вылете из ствола, если ствол укоротить

в4 раза.

	1.13.4. Точка движется согласно уравнениям х =		3	, у = 3t (х, у м,
		t	1

t с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и указать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Ох.

	1.13.5.	Найти уравнение			траектории	точки, движущейся по закону
	х = 4 – 2∙cos	t	, у = 3 + 4∙sin	t	(х, у м, t	с). Определить положение, ско-
		2		2

рость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = ⅓ с.

	1.13.6. Звено СА механизма движется по закону φ =	t	( − рад, t – с).
		3

Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = 1 c, t2 = 2 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при t1 = 1 c, если ОВ = 6ВМ = 1,2 м, АС = ОС = 0,5 м.

Задание 1.14

1.14.1. По окружности радиусом R = 3 3 м движется точка, имея ско-

рость V = 3t (V – м/с, t – с). Определить угол между векторами скорости и ускорения точки в момент времени t = 1 с.

19

1.14.2.Поезд, имея начальную скорость 54 км/ч, прошел 600 м в первые 30 с. Считая движение равнопеременным, найти скорость и ускорение поезда

вконце 30-й секунды, если движение происходит по закруглению радиусом 1 км.

1.14.3.Точка движется по окружности радиусом R = 150 м, с касательным ускорением аτ = 6 м/с2. Определить угол между векторами скорости и ускорения точки в момент времени, когда еѐ скорость V = 30 м/с.

	1.14.4.	Точка движется согласно уравнениям х = 2sin	t	, у = cosπt
			2
	(х, у м, t	с). Найти уравнение линии, по которой движется точка, и ука-

зать, какая еѐ часть является траекторией. Определить скорость и ускорение точки в момент времени, когда она находится на оси Оу.

1.14.5. Найти уравнение траектории точки, движущейся по закону х = 4t + 1, у = 2t2 (х, у м, t с). Определить положение, скорость, ускорение точки, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории при t = 1 c.

	1.14.6. Звено ОВ механизма движется по закону φ =	t	( − рад, t – с).
		4

Построить положение звеньев механизма в моменты времени t0 = 0, t1 = ⅔ c, t2 = 4 с. Написать уравнения движения точек А и М механизма в координатной форме и найти уравнение траектории точки М. Определить скорости и ускорения точек А и М, а также радиус кривизны траектории в точке М при

t1 = ⅔ c, если ОВ = ВА = 4ВМ = 0,6 м.

Задание 1.15

1.15.1. Найти скорость, ускорение, его касательную и нормальную составляющие при движении точки по криволинейной траектории по закону

	S = 5sin	t	(S − м, t – с) в моменты времени, когда векторы скорости и уско-
		4

рения точки взаимно перпендикулярны. Радиус кривизны траектории равен

0,25 м.

1.15.2. Точка движется по окружности равноускоренно из состояния покоя. Определить отношение ускорения точки после того, как она обойдет всю окружность 5 раз, к еѐ ускорению, после первого оборота.

1.15.3. Две точки движутся по одной и той же окружности в одну сторону согласно уравнениям S1 = 8 + 2t2, S2 = t (S – см, t – с). Начало отсчета дуговых

20