МУ ТМ_2015 / Сб. заданий по теоретич. механике Кинематика (Дрожжин, Баранова, Дадочкина и др)

Задание 2.04

2.04.1. Диск вращается относительно неподвижной оси во время разгона по закону φ = 4 t3 ( − рад, t – с). Определить характер движения, угловую

скорость, угловое ускорение и число оборотов, сделанных диском, через 2 и 6 секунд после начала движения.

2.04.2.Тело, имеющее неподвижную ось, получило начальную угловую скорость 2π рад/с. Сделав 10 оборотов, тело, вследствие трения в подшипниках, остановилось. Определить угловое ускорение, считая его постоянным, и написать уравнение движения тела.

2.04.3.Тело вращается согласно уравнению, полученному в предыдущей задаче. Определить скорость и ускорение точки тела, расположенной в 50 см от оси вращения, при t = 4 с.

2.04.4.Определить скорость и ускорение точки тела, находящейся на расстояние 1 м от оси вращения, в момент времени t = 0,5 с, если тело враща-

ется вокруг неподвижной оси по закону φ = 2π cosπt2 ( − рад, t – с).

2.04.5.Колесо 1 зубчатой передачи вращается с постоянной угловой скоростью равной 30π рад/с. Определить скорость и ускорение точки М коле-

са 2, находящейся на расстоянии h = R1 от оси вращения, если считать, что радиусы колес R1 = 0,05 м, R2 = 0,15 м.

2.04.6.Груз 1, опускаясь по закону х = 50t2 + 100 (х – см, t – с), приводит

вдвижение механизм. Радиусы колес: R2 = 50 см, r2 = 45 см, R3 = 40 см. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в момент времени, когда груз 1 опустится на расстояние равное 0,5 м.

Задание 2.05

2.05.1.Ротор генератора вращается согласно уравнению φ = 9t4 + 3t ( − рад, t – с). Определить характер движения, угловую скорость, угловое ускорение и число оборотов ротора через 1 и 3 секунды после начала движения.

2.05.2.С момента выключения мотора винт самолета, вращающийся с угловой скоростью, соответствующей 1200 об/мин, сделал до остановки 80 оборотов. Считая вращение винта равнозамедленным, определить время остановки винта и написать уравнение его движения.

41

2.05.3.Используя уравнение движения винта, полученное в предыдущей задаче, определить скорость и ускорение точки, расположенной на конце лопасти винта, в начальный момент времени, если диаметр винта равен 2 м.

2.05.4.Ротор радиусом 0,5 м вращается равномерно вокруг своей оси. Скорость точек, лежащих на его внешней поверхности, равна 2 м/с. Сколько оборотов в минуту делает ротор и каково ускорение точек его поверхности?

2.05.5.Колесо 1 зубчатой передачи вращается с угловым ускорением, равным 2π рад/с2. Определить угловую скорость колеса 1 и ускорение точки

Св тот момент, когда колесо 2 вращается с угловой скоростью соответствующей 600 об/мин, если радиусы колес R1 = 0,4 м, R2 = 0,8 м.

2.05.6.Груз 1, опускаясь по закону х = 5 + 8t2 (х – см, t – с), приводит в

движение механизм. Радиусы колес: R2 = 16 см, r2 = 10 cм, R3 = 20 см. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в момент времени, когда груз пройдет путь равный 0,32 м.

	Задание 2.06
2.06.1.	Тело вращается относительно неподвижной оси по закону
φ = 2t – t3 (	− рад, t – с). Определить характер движения, угловую скорость,

угловое ускорение и число оборотов, сделанных телом, через 2 и 4 секунды после начала движения.

2.06.2.Угол поворота диска турбины при еѐ запуске изменяется пропорционально квадрату времени. При t = 5 с угловая скорость диска соответствует 900 об/мин. Написать уравнение движения диска и определить его угловое ускорение.

2.06.3.Диск вращается согласно уравнению, полученному в предыдущей задаче. Определить скорость и ускорение точки, лежащей на диске в 0,1

мот оси вращения, при t = 2 с.

2.06.4.Определить скорость и ускорение точки, находящейся на поверхности Земли, принимая во внимание только вращение Земли вокруг своей оси. Широта точки 60°, радиус Земли принять равным 6370 км.

2.06.5.Определить, через какой промежуток времени зубчатое кониче-

ское колесо 1 радиусом R1 = 0,1 м будет иметь угловую скорость, соответствующую 4320 об/мин, если оно приводится в движение из состояния покоя

колесом 2 радиусом R2 = 0,15 м, вращающимся равноускоренно с угловым ускорением равным 4π рад/с2.

42

2.06.6. Груз 1, опускаясь по закону х = 15t2 + 30 (х – см, t– с), приводит в движение механизм. Радиусы колес: R2 = 30 см, r2 = 20 cм, R3 = 40 см. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в момент времени, когда груз опустится на расстояние 0,6 м.

Задание 2.07

2.07.1. Вал начинает вращаться согласно уравнению φ = (t – 2)3 ( − рад, t – с). Определить число оборотов, угловую скорость, угловое ускорение и характер движения вала через 2 и 5 секунд после начала движения.

2.07.2.Вал, начиная вращаться из состояния покоя равноускоренно, за 4 с сделал 12 оборотов. Написать уравнение движения вала и определить его угловую скорость в конце четвертой секунды.

2.07.3.По уравнению движения, полученному в предыдущей задаче, определить скорость и ускорение точек, лежащих на поверхности вала диаметром 0,2 м при t = 2 c.

2.07.4.Маховое колесо радиусом 2 м вращается вокруг неподвижной оси согласно уравнению φ = 3cos 4t + 3 (φ − рад, t – с). Определить скорость

иускорение точки, лежащей на ободе маховика в момент времени t = 1 c.

2.07.5.Ведущий диск 1 фрикционной передачи радиусом R1 = 0,12 м делает 600 оборотов в минуту. Определить угловую скорость ведомого диска

2 радиусом R2 = 0,05 м, скорость и ускорение точки М его обода, если точка сцепления дисков отстоит от оси вращения диска 2 на расстоянии h = 0,1 м.

2.07.6.Механизм приводится в движение посредством груза 1, опускающегося по закону х = 5 + 10t2 (х – см, t – с). Радиусы колес: R2 = 20 см, r2 = 15 cм, R3 = 10 cм. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в момент времени, когда груз опустится на расстояние равное 0,4 м.

Задание 2.08

2.08.1. Диск вращается относительно неподвижной оси согласно урав-

нению φ = t3 – 4t (φ − рад, t – с). Определить при t1 = 4 c и при t2 = 6 с характер движения диска, его угловую скорость, угловое ускорение и количество

оборотов, сделанное за 6 с.

2.08.2. Начиная вращаться равноускоренно из состояния покоя, маховое колесо через 5 минут имеет угловую скорость соответствующую

43

1500 об/мин. Определить число оборотов, сделанное маховиком за это время,

инаписать уравнение его движения.

2.08.3.Используя уравнение движения, полученное в предыдущей задаче, определить скорость и ускорение точек обода маховика диаметром 1,5 м при t = 6 с.

2.08.4.Тело совершает колебательные движения вокруг неподвижной

	оси согласно уравнению φ = 3π sin	t	( − рад, t – с). Определить скорость и
		3

ускорение точки тела, находящейся на расстоянии 2 м от оси вращения, в момент времени t = 1 с.

2.08.5.Колесо 1 радиусом R1 = 0,15 м зубчатой передачи делает 300 оборотов в минуту и приводит в движение ступенчатое колесо 2, радиусы

которого r2 = 0,1 м, R2 = 0,2 м. Определить скорость и ускорение точки М второго колеса.

2.08.6.Опускаясь по закону х = 4 + 8t2 (х – см, t – с), груз 1 приводит в

движение механизм. Радиусы колес: R2 = 35 cм, r2 = 10 cм, R3 = 10 cм. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в момент времени, когда груз пройдет путь равный 0,72 м.

Задание 2.09

2.09.1.Вал вращается вокруг неподвижной оси согласно уравнению

φ= t5 – 1 ( − рад, t – с). Определить характер движения тела, его угловую скорость, угловое ускорение и количество сделанных оборотов через 1 и 2 секунды после начала движения.

2.09.2.Тело, имея начальную угловую скорость 6π рад/с, остановилось вследствие сопротивления, сделав 18 оборотов. Считая движение равнозамедленным, определить угловое ускорение и написать уравнение движения тела.

2.09.3.Используя уравнение движения тела, полученное в предыдущей задаче, определить начальные скорость и ускорение точки, находящейся от оси вращения на расстоянии равном 0,15 м.

2.09.4.Маховое колесо радиусом 0,5 м вращается равномерно относительно своей оси, делая 2 оборота за 0,25 с. Найти скорость и ускорение точки, лежащей на ободе маховика.

2.09.5.Ступенчатый шкив 2 приводится в движение из состояния покоя

бесконечным ремнѐм от шкива 1. Радиусы шкивов: R1 = 0,3 м, r2 = 0,2 м, R2 = 0,5 м. Шкив 1 вращается с угловым ускорением равным 0,4π рад/с2. Оп-

44

ределить, через какой промежуток времени точка М второго шкива достигнет скорости, равной 3π м/с.

2.09.6. Механизм приводится в движение грузом 1, опускающимся по закону х = 3 + 21t 2 (х – см, t – с). Радиусы колес: R2 = 42 cм, r2 = 30 см, r3 = 12 cм. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в момент вре-

мени, когда груз пройдет расстояние равное 0,21 м.

Задание 2.10

2.10.1. Тело вращается относительно неподвижной оси по закону φ = (t – 1)4 ( − рад, t –с). Определить характер движения тела, его угловую скорость, угловое ускорение и количество сделанных оборотов через 1 и 3 секунды после начала движения.

2.10.2.Винт самолета, вращающийся с угловой скоростью, соответствующей 800 об/мин, после выключения двигателя сделал 180 оборотов до остановки. Считая вращение равнозамедленным, определить время остановки винта и написать уравнение его движения.

2.10.3.Винт самолета вращается по закону, полученному в предыдущей задаче. Определить скорость и ускорение точки, лежащей на конце лопасти винта, за 2 секунды до остановки, если его диаметр равен 1,6 м.

2.10.4.Определить скорость и ускорение точки, находящейся на поверхности Земли, принимая во внимание только вращение Земли вокруг своей оси. Широта точки 30°, радиус Земли принять равным 6370 км.

2.10.5.Ступенчатый шкив 2 приводится в движение бесконечным ремнем от шкива 1, вращающегося с постоянной скоростью, соответствующей

150 об/мин. Радиусы шкивов: R1 = 0,24 м, r2 = 0,15 м, R2 = 0,3 м. Определить скорость и ускорение точки М второго шкива.

2.10.6.Груз 1, опускаясь по закону х = 48t2 + 96 (х – см, t – с), приводит

вдвижение механизм. Радиусы колес: R2 = 45 см, r2 = 32 cм, R3 = 15 см. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в момент времени, когда груз 1 опустится на расстояние равное 1,92 м.

Задание 2.11

2.11.1.Маховик вращается относительно неподвижной оси по закону

φ= 2t3 – 3 ( – рад, t – с). Определить угловую скорость, угловое ускорение, количество сделанных оборотов и характер движения маховика через 1 и 6 секунд после начала движения.

45

2.11.2.Угол поворота диска турбины при еѐ запуске изменяется про-

порционально четвертой степени времени. При t2 = 2 с угловая скорость соответствует 960 об/мин. Определить угловое ускорение при t1 = 1 с и написать уравнение движения диска.

2.11.3.Определить скорость и ускорение точек на поверхности диска турбины радиусом 0,15 м, вращающегося по закону, полученному в предыдущей задаче, при t = 4 с.

2.11.4.Маховое колесо радиусом 0,25 м вращается равномерно вокруг своей оси. Скорость точек, лежащих на его ободе, равна 4 м/с. Сколько оборотов в минуту делает колесо, и каково ускорение точек его обода?

2.11.5.Точка М зубчатого колеса 1 конической передачи имеет линейную скорость, равную 10 м/с и касательное ускорение, равное 0,1 м/с2. Определить ускорение точки С второго колеса, если его радиус R2 = 0,5 м.

2.11.6.Опускаясь по закону х = 8 + 4t2 (х – см, t – с), груз 1 приводит в

движение механизм. Радиусы колес: R2 = 40 см, r2 = 30 см, R3 = 20 см. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в момент времени, когда груз 1 пройдет расстояние равное 0,16 м.

Задание 2.12

2.12.1.Шкив вращается относительно неподвижной оси по закону

φ= 2t3 – 5t (φ – рад, t – с). Определить угловую скорость, угловое ускорение, число оборотов и характер движения шкива при t1 = 1 c и t2 = 2 c.

2.12.2.Вал, начиная вращаться равноускоренно из состояния покоя, за 10 с сделал 25 оборотов. Написать уравнение движения вала и определить его угловую скорость в конце десятой секунды.

2.12.3.По условиям предыдущей задачи определить скорость и ускорение точек, лежащих на поверхности вала диаметром 0,1 м.

2.12.4. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = 2π sin	t
	2

(φ − рад, t – с). Определить скорость и ускорение точки тела, находящейся на расстоянии 1 м от оси вращения, в момент времени t = 6 с.

2.12.5. Шкив 1 приводится в движение из состояния покоя бесконечным ремнем от шкива 2, угловое ускорение которого равно π рад/с2. Пренебрегая скольжением ремня по шкивам, определить через какой промежуток времени точка М шкива 1 достигает скорости, равной 100π м/с, если радиусы шкивов

R1 = 0,3 м, r1 = 0,2 м, R2 = 0,5 м.

46

2.12.6. Груз 1, опускаясь по закону х = 9 + 81t 2 (х – см, t – с), приводит в движение механизм. Радиусы колес: R2 = 40 cм, r2 = 30 см, R3 = 90 см. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в момент времени, когда груз опустится на расстояние равное 0,81 м.

Задание 2.13

2.13.1.Диск вращается относительно неподвижной оси, согласно уравнению φ = πt 2πt3 ( − рад, t – с). Определить угловую скорость, угловое ускорение, число оборотов и характер движения диска через 5 и 10 секунд после начала движения.

2.13.2.Маховик, начиная вращаться равноускоренно из состояния покоя, через 10 минут имеет угловую скорость соответствующую 1800 об/мин. Определить число оборотов маховика за это время и написать уравнение его движения.

2.13.3.Используя уравнение движения маховика, полученное в предыдущей задаче, определить скорость и ускорение точки, лежащей на его ободе, при t = 2 мин, если диаметр маховика равен 100 см.

2.13.4.Маховое колесо радиусом 2 м вращается вокруг неподвижной оси согласно закону φ = 0,2π cosπt (φ – рад, t – с). Определить скорость и ускорение точки, лежащей на ободе колеса, в момент времени t = 0,5 с.

2.13.5.Шкив 1 приводится в движение из состояния покоя бесконечным ремнем от шкива 2, угловое ускорение которого равно π рад/с 2. Пренебрегая скольжением ремня по шкивам, определить, через какой промежуток времени точка М шкива 1 достигнет скорости равной 10π м/с, если радиусы

шкивов R1 = 0,3 м, r1 = 0,2 м, R2 = 0,5 м.

2.13.6. Механизм приводится в движение грузом 1, опускающимся по

закону х = 6 + 64t2 (х – см, t – с). Радиусы колес: R2 = 90 см, r2 = 64 cм, R3 = 30 см. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в момент времени, когда груз 1 пройдет путь равный 0,64 м.

Задание 2.14

2.14.1. Вал вращается по закону φ = 10t – 0,1t3 ( – рад, t – с). Определить угловую скорость, угловое ускорение, число оборотов и характер движения вала при t1 = 2 с и t2 = 4 с.

2.14.2. Ротор двигателя, имея начальную угловую скорость равную 12π рад/с, остановился вследствие трения в подшипниках, сделав 36 оборотов.

47

Считая вращение ротора равнозамедленным, определить его угловое ускорение, время движения до остановки и уравнение вращения ротора.

2.14.3.Ротор двигателя вращается по закону, полученному в предыдущей задаче. Определить скорость и ускорение точки ротора, отстоящей от оси вращения на расстояние равное 5 см, за 2 с до его остановки.

2.14.4.Маховое колесо радиусом 0,3 м вращается равномерно относительно своей оси, делая 1 оборот за 0,1 с. Найти скорость и ускорение точек, лежащих на ободе колеса.

2.14.5.Точка М зубчатого колеса 1 имеет линейную скорость равную 100π м/с и касательное ускорение, равное 10π м/с2. Определить ускорение точки С второго колеса и его угловое ускорение, если радиусы R2 = 0,15 м,

r2 = 0,05 м.

2.14.6. Опускаясь по закону х = 10 + 20t2 (х – см, t – с), груз 1 приводит в движение механизм. Радиусы колес: R2 = 15 см, r2 = 10 см, R3 = 15 cм. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в момент времени, когда груз опустится на расстояние равное 0,8 м.

Задание 2.15

2.15.1.Тело вращается относительно неподвижной оси согласно уравнению φ = 2t – 4t3 ( – рад, t – с). Определить угловую скорость, угловое ускорение, число оборотов и характер движения тела при t1 = 4 с и t2 = 10 с.

2.15.2.С момента выключения двигателя винт самолета, вращающийся

сугловой скоростью соответствующей 2400 об/мин, сделал до остановки 800 оборотов. Определить время остановки винта, считая движение равнозамедленным, и написать уравнение его движения.

2.15.3.Используя уравнение движения винта, полученное в предыдущей задаче, определить скорость точки конца лопасти при t = 20 с, если диаметр винта 1,8 м.

2.15.4.Ротор радиусом 0,1 м вращается равномерно вокруг своей оси. Скорость точек, лежащих на его поверхности, равна 2 м/с. Сколько оборотов делает ротор в минуту и каковы ускорения точек его внешней поверхности.

2.15.5.Колесо 1 зубчатой передачи начинает вращаться относительно своей оси с угловым ускорением равным 2π рад/с2. Определить через какой промежуток времени точка М колеса 2 достигает скорости, равной 12π м/с, если радиусы колѐс r2 = 0,3 м, R1 = 0,2 м, R2 = 0,5 м.

48

2.15.6. Механизм приводится в движение грузом 1, опускающимся по

закону х = 8 + 40t2 (х – см, t – с). Радиусы колес: R2 = 15 см, r2 = 10 см, R3 = 15 см. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в момент

времени, когда груз пройдет путь, равный 0,4 м.

Задание 2.16

2.16.1.Маховик вращается относительно неподвижной оси по закону

φ= 6t + t3 ( − рад, t – с). Определить угловую скорость, угловое ускорение, количество оборотов и характер вращения маховика при t1 = 1 с и t2 = 8 с.

2.16.2.Угол поворота диска, вращающегося вокруг неподвижной оси, изменяется согласно уравнению φ = kt2 + πt (φ – рад, t – с, k – постоянная величина). Написать уравнение движения диска. Определить угловую скорость и угловое ускорение диска через 3 с после начала движения, если за первые 6 с он сделал 21 оборот.

2.16.3.По условиям предыдущей задачи определить скорость и ускорение точки диска, расположенной в 0,1 м от оси вращения, при t = 5 c.

2.16.4.Определить скорость и ускорение точки, находящейся на поверхности Земли, принимая во внимание только вращение Земли вокруг своей оси. Широта точки 45°, радиус Земли принять равным 6370 км.

2.16.5.Зубчатое колесо 2 радиусом R2 = 0,12 м конической пары вращается равноускоренно из состояния покоя с угловым ускорением равным 4π рад/с2. Определить угловую скорость колеса 1 радиусом R1 = 0,1 м через 24 с после начала движения, а также скорость и касательное ускорение точки

М.

2.16.6.Груз 1, опускаясь по закону х = 4 + 36t3 (х – см, t – с), приводит в

движение механизм. Радиусы колес: R2 = 18 см, r2 = 12 cм, R3 = 15 см. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в момент времени, когда груз опустится на расстояние равное 0,36 м.

			Задание 2.17
	2.17.1.	Ротор двигателя вращается относительно неподвижной оси по
	закону φ =	8 t 3	( – рад, t – с). Определить угловую скорость, угловое уско-
		3

рение, число оборотов и характер вращения ротора при t1 = 3 c и t2 = 4 с.

49

2.17.2. Угол поворота диска, вращающегося вокруг неподвижной оси, изменяется согласно уравнению φ = kt3 + πt2 ( – рад, t – с, k – постоянная величина). Написать уравнение движения диска. Определить угловую скорость и угловое ускорение диска через 5 с после начала движения, если за первые 2 с он сделал 10 оборотов.

2.17.3.По условиям предыдущей задачи определить скорость и ускорение точки диска, отстоящей на 0,1 м от оси вращения, при t = 6 с.

2.17.4.Вал начинает вращаться равноускоренно, имея начальную угловую скоростью равную 2π рад/с, и за 4 с делает 20 оборотов. Найти скорость

иускорение точки, отстоящей от оси вращения на расстояние, равное 0,2 м, в конце четвертой секунды.

2.17.5.Ведущий диск 1 фрикционной передачи делает 900 оборотов в минуту. Определить скорость и ускорение точки М ведомого диска 2 при условии, что точка сцепления дисков отстоит от оси вращения второго диска на расстоянии h = 0,05 м, R1 = 0,1 м, R2 = 0,2 м.

2.17.6.Опускаясь по закону х = 80t2 + 40 (х – см, t – с), груз 1 приводит

в движение механизм. Радиусы колес: R2 = 15 см, r2 = 10 см, R3 = 30 см. Определить скорость и ускорение точки М колеса 3 в момент времени, когда груз пройдет путь равный 0,8 м.

Задание 2.18

2.18.1. Маховое колесо вращается относительно неподвижной оси по закону φ = t + 3t3 ( – рад, t – с). Определить угловую скорость, угловое ускорение, число оборотов и характер вращения маховика при t1 = 1 с и t2 = 3 с.

2.18.2. В период разгона маховик вращается по закону φ = kt3 ( − рад, t – с, k – постоянная величина). Написать уравнение движения маховика и определить количество оборотов, сделанное маховиком за 10 с, если угловая скорость за это время достигла 900 об/мин.

2.18.3.Маховик диаметром 1,6 м вращается согласно уравнению, полученному в предыдущей задаче. Определить скорость и ускорение точки, лежащей на его ободе при t = 5 с.

2.18.4.Диск радиусом 1 м вращается равноускоренно из состояния покоя. Через 5 с точки, лежащие на ободе, имеют линейную скорость 10 м/с. Найти скорость и ускорение точек обода диска через 10 с после начала движения.

50