Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

69

Решение Проиллюстрируем геометрическое представление векторов а и b рисунками (рис. 1.5.6, рис.1.5.7).

z

3

					b
-2											k	y
								0
					1

x

Рис. 1.5.7

Длина вектора в декартовой прямоугольной системе координат равна

			x2 y2 z2 .	(1.5.3)
а

Вектор однозначно можно определить не только заданием его координат, но и заданием длины вектора и его направления. Направление вектора в ортонормированном базисе (в декартовой прямоугольной системе координат)

задается при помощи направляющих косинусов:

соsα

x

, соsβ

y

, cоs γ

z

,

а

а

а

где , , – углы между вектором a и базисными векторами i , j , k соответственно. Очевидно, что направляющие косинусы совпадают с координатами

орта вектора: а0 = (cos ; cos ; cos ). При этом
cоs2 cоs2 cоs2 1.	(1.5.4)

Пример

Найти координаты вектора а, если он составляет с вектором i угол 60o, с вектором j – 120o, а с векторов k – острый угол, при этом длина век-

тора а 2.

Решение

Учитывая, что = 60o, =1200, найдем угол из уравнения (1.5.4) cоs2 60o cоs2120o cоs2 1;

		1	2			1	2	cоs2 γ 1		cos2 γ	1			1
		2				2					2		cоs		.
														2

70

Следовательно = 45o или 135o. По условию – острый, т.е.

Тогда = 45o. Таким образом, получаем cоs																																				1		,	cоs		1	, cоs
																																				2					2
																					1						1			2
орт вектора а имеет координаты а																							;
																													;							.
																					2						2			2
						2 , то
Поскольку
				а
																				1					1					2
						а			а			а
														0	2							;						;									1; 1; 2				.
																				2					2					2
или в явной форме
																															2						.
																	а				i			j										k

< 90o. 22 , т.е.

71

ЛЕКЦИЯ 1.6. СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ, ИХ СВОЙСТВА, ВЫЧИСЛЕНИЕ, ПРИМЕНЕНИЕ. УСЛОВИЯ КОЛЛИНЕАРНОСТИ, ОРТОГОНАЛЬНОСТИ И КОМПЛАНАРНОСТИ ВЕКТОРОВ

В предыдущей лекции мы рассматривали линейные операции над векторами, в данной лекции будем работать с нелинейными операциями: скалярным произведением векторов, векторным произведением векторов, смешанным произведением векторов.

1.6.1. Скалярное произведение векторов. Условие ортогональности векторов

Определение 1. Скалярным произведением векторов a и b называет-

ся число, равное произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла между ними:

a

b

a

b

cos .

(1.6.1)

Обозначение a b или a, b .

Свойства скалярного произведения:

1.a b b a (переместительное);

2.a b ( a) b a ( b) (сочетательное);

3.a b c a c b c (распределительное);.

4.a a a 2 .

Примеры.

1. Вычислить скалярное произведение векторов а и b , если а 2 ,

b 3, а 4 .

Решение

Используя формулу (1.6.1) из определения скалярного произведения,

cos 2 3 соs 6

2

получим

3 2 .

a

b

a

b

4

2

3

2

и 5

6

,

2. Найти скалярное произведение двух векторов

a

b

a

b

если

6 и угол между ними равен

a

b

3

Решение

72

3a 2b 5a 6b 3a 5a 3a 6b 2b 5a 2b ( 6b)

15 a 2 18a b 10b a 12 b 2 15 a 2 18a b 10a b 12 b 215 a 2 28a b 12 b 2 15 62 28 6 6 cos 3 12 62

62 15 28 12 12 36(15 14 12) 468.

Выясним вопрос о том, как найти скалярное произведение, если векто-

ры a и b заданы по своими координатами в пространстве R3. Пусть заданы два вектора своим разложением по базису:

a х1 i у1 j z1 k , b x2 i y2 j z2 k .

Находим скалярное произведение данных векторов

a b x1 i y1 j z1 k x2 i y2 j z2 k

x1 x2 i i y1 x2 j i z1 y2 k i x1 y2 i j

y1 y2 j j z1 y2 k j x1 z2 i k y1z2 j k z1 z2 k k.

При раскрытии скобок применили распределительное свойство скалярного произведения. Заметив, что

i i j j k k 1 и i j j i i k k i j k k j 0

(так как cos0o 1,cos90o 0 ),

таким образом, для скалярного произведения двух векторов получаем окончательную формулу:

a

b

x1 x2 y1 y2 z1 z2 .

(1.6.2)

Замечание. Формула (1.5.3) нахождения длины вектора (модуля), которая приводилась в параграфе 1.5.2, получается из (1.6.2) и свойства 4 скалярного произведения векторов:

2 х х y y z z x2 y2 z2 ,

x2 y2 z2 .

a

a

а

a

Из определения скалярного произведения вытекает условие перпенди-

кулярности (ортогональности) векторов:

0,

(1.6.3)

a

b

a

b

так как cos 90 0.

Пример. Даны векторы a ( 2; y;1), b (3; 1; 2) . Найти a b , если

a b .

Решение. Исходя из условия ортогональности векторов (1.6.3) имеем,

что a b a b 0 . Вычислим скалярное произведение через координаты, приравняем его к нулю, решая полученное уравнение, найдем у:

73

a b ( 2) 3 y ( 1) 1 2 0; 6 y 2 0; y 4 .

Геометрический смысл скалярного произведения. Рассмотрим проек-

цию вектора a на вектор b . Для этого поместим их в одно начало О (рис. 1.6.1).

a

O

m

b

Рис. 1.6.1

m Пр

cos

a

b

a

b

.

(1.6.4)

a

а

a

b

a

b

b

Пример.

Даны векторы

3

6

,

4

5

,

3

4

2

.

a

i

j

k

b

i

j

k

c

i

j

k

Найти проекцию вектора

на вектор

.

a

c

b

c

Решение.

= (6; – 2; 1),

= (4; 8; – 3),

a

c

b

c

т.к.

a

= (3; – 6; – 1),

b

= (1; 4; – 5),

c

= (3; 4; 2).

Подставляя координаты векторов в формулу (1.6.4), получим

a c

a

c

b

c

6

4

( 2)

8

1

( 3)

24

16

3

5

Пр(

)

а

b

b c

42 82 ( 3)2

16 64 9

89

Формулу вычисления cos можно вывести непосредственно из опре-

деления скалярного произведения, т.е. из (1.6.1).

Итак, геометрический смысл скалярного произведения связан с нахождением проекции вектора на вектор Прb a abb .

А формула вычисления косинуса угла между векторами записывается

cos			a			b			.	(1.6.5)
		а				b

Пример. В АВС даны вершины: А(– 1; – 2; 4), B(– 4; – 2; 0), C(3; – 2; 1). Найти АВС.

Решение. Ищем угол В между векторами, выходящими из вершины В:

BА и BС(рис. 1.6.2).

A

B C

Рис. 1.6.2

74

.

Применим формулу (1.6.5): cos B

BA

BC

BA

BC

Тогда

BA ( 1 ( 4); 2 ( 2); 4 0) (3; 0; 4) ;

BC (3 ( 4); 2 ( 2);1 0) (7; 0;1) ;

BA BC = 3 7 + 0 0 + 4 1 = 25;

BA 32 02 42 9 16 5;

BC 72 02 12 49 1 50 5 2 ;

	cos B		25		1		2	.
		5	5 2		2		2

Получим, что АВС = 45 .

Механический смысл скалярного произведения. Отметим, что понятие скалярного произведения возникло в механике, смысл которого заключается

в том, что скалярное произведение силыF , приложенной к точке, на перемещение S этой точки равна работе, совершенной этой силой:

W A F S .

Пример

Даны силы F1 i j k , F2 2i j 3k . Найти работу их равнодейст-

вующей при перемещении точки из начала координат в точку А(2; – 1; – 1).

Решение

Механический смысл скалярного произведения:

W F S .

В данном случае:

F F1 F2 (1 2; 1 1;1 3) (3; 0; 4) ; S OA (2; 1; 1) ,

где точка О – начало координат. Тогда работа равна

WF S 3 2 0 ( 1) 4 ( 1) 2 .

1.6.2.Векторное произведение векторов. Условие коллинеарности

векторов

Определение 2. Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой – вторым, какой – третьим.

Рассмотрим ортонормированные базисы, приведенные к общему началу. Тогда возникает вопрос: можно ли все эти базисы свести к одному при

75

помощи вращения вокруг общей точки? Оказывается, что все ортонормированные базисы распадаются на два класса: правый и левый.

Определение 3. Тройка векторов называется правой, если эти вектора, приведенные к одному началу, располагаются также как расставленные пальцы правой руки: большой палец – по первому вектору, указательный – по второму, средний – по третьему. Если смотреть во внутрь телесного угла, образованного этими векторами, то движение от первого ко второму, от второго к третьему будет совершаться против часовой стрелки. Обычно на практике рассматриваются только правые системы векторов.

Определение 4. Векторным произведением вектора a на вектор b на-

зывается вектор c , удовлетворяющий условиям: 1) c a b sin ; (1.6.6); 2) c a , c b ;

3) упорядоченная тройка векторов a , b , c – правая (рис. 1.6.3).

a

b

c

c

b

a

Рис. 1.6.3

Обозначается векторное произведение a b или a, b .

Свойства векторного произведения:

1)a b b a (антикоммутативность);

2)a b a b a b ;

3)a b c a b a c ;

4)a a 0.

Пример.Вычислить значение выражения |(2 а+b ) ( a +2b )|, если | a |=1, |b |=2 и = a ^b = 23 .

Решение. Раскроем скобки, учитывая свойства векторного произведения векторов:

(2 a +b ) ( a +2b ) = 2 a a +b a +4 a b +2b b =

= 0– a b +4 a b +0 = 3 a b .

Далее по формуле (1.6.6) из определения векторного произведения следует: |(2 a +b ) ( a +2b ) | = |3 a b | =3| a ||b |sin = 3 1 2 sin1200 = 3 3.

76

Геометрический смысл векторного произведения. Модуль векторно-

го произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах а и b как на сторонах:

c

a

b

a

b

sin Sпарал-ма .

Замечание. 1

1

1

sin Sтреуг-ка .

(1.6.6)

c

a

b

a

b

2

2

2

Если два вектора

a

и

b

определены своими координатами в ортонор-

мированном базисе:

=(x1;

y1; z1),

=(x2; y2; z2), то векторное произведение

а

b

вычисляется по формуле:

i

j

k

x1

y1

z1

(1.6.7)

a

b

x2

y2

z2

Примеры

1. Найти площадь АВС, где А(2; – 1; 2), B(1; 2; – 1), C(3; 2; 1).

Решение

Применим формулу

a b

Sпарал-ма a b ; S 2 .

Так как находим площадь треугольника АВС, то за вектор а принимаем вектор AВ, а за b вектор AC (рис. 1.6.4) .

B

A

C

Рис. 1.6.4

AB AC

S ABC 2 .

Координаты векторов

AB (1 2; 2 ( 1); 1 2) ( 1; 3; 3) ;

AC (3 2; 2 ( 1);1 2) (1; 3; 1) .

По формуле (1.5.11) векторное произведение векторов:

					i			j			k
				1			3			3			3		3		3		3		9				6		4		6		;
AB		AC												i		k		j		k		i		j		i		j		k
				1			3			1

77

Длина полученного вектора

62 ( 4)2

( 6)2

88 2

22 ;

S ABC

AB

AC

22 .

AB

AC

2

2. Найти высоту параллелограмма,

2

построенного

на векторах

a

j

k

,

2

(рис. 1.6.5).

b

i

k

a

h

b

Решение

Рис. 1.6.5

h.

Находим формулу

для

вычисления

длины

высоты

Знаем,

что

Sпарал-ма h

, отсюда h

S

a

b

. Находим векторное произведение

b

b

b

i

j

k

0

2 1

4

2

.

a

b

i

j

k

1

0

2

42 12 ( 2)2

Длина этого вектора будет равна:

21 .

a

b

12 02 22

5 , тогда

Длина основания:

b

h

S

21

105

.

5

b

5

Различные комбинации векторных произведений базисных векторов i , j , k можно записать следующим образом:

i i = j j = k k = 0, i j = k , j k = i , k i = j .

Пример

Раскрыть скобки и упростить: 1) i j k j i k k i j k ;

2) 2i j k 3 j i k 4k i j .

Решение

1)

i j i k j i j k k i k j k k k ( j) ( k) i j( i) 0 k j k i j i 2(k i);

2) 2i i 3 j ( j) 4k k 2 1 3 1 4 1 3 .

78

Из определения векторного произведения векторов, в частности, следует, что необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения:

a ||b a b = 0.

Механический смысл векторного произведения. Отметим, что поня-

тие векторного произведения также возникло в механике. Если F – сила, приложенная к точке М, то момент mA (F) этой силы относительно точки А

равен векторному произведению векторов AM и F , т.е. mA (F) AM F .

1.6.3. Смешанное произведение векторов. Условие компланарности векторов

Рассмотрим произведение векторов a , b и c , составленное следующим образом: a b c .

Здесь первые два вектора умножаются векторно и затем полученный

вектор a b умножается скалярно на третий вектор c . Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой, очевидно, некоторое

число. Обозначают смешанное произведение следующим образом: a b c

или (a,b,c) .

Свойства смешанного произведения векторов:

1.a b c (a c) b (c b) a (c a) b (b c) a ;

2.если два из трех данных векторов равны или коллинеарны, то их смешан-

ное произведение равно нулю;

3. a b c a (b c) , т.к. «точку» и «крест» можно менять местами, то и

пишем a b c .

Если три вектора а, b и c определены своими координатами в орто-

нормированном базисе:

a

=(x1; y1; z1),

b

=(x2; y2; z2),

c

=(x3; y3; z3), то смешан-

ное произведение вычисляется по формуле:

х1

y1

z1

a

b

c

x2

y2

z2

.

(1.6.8)

x3

y3

z3

Пример. Найти смешанное

произведение

векторов

2

,

a

i

j

k

3

,

4

.

b

i

j

k

c

i

j

k