2. Алгоритм γ(ут)-модификации для мм-критерия (мм γ(ут)-критерий)

Представим особенности реализации соответствующих процедур γ(УТ)-модификации, которые обусловлены именно частичным сдвигом семейства линий уровня критерия (к утопической точке поля полезностей) применительно к классическому ММ-критерию. Получаемый в результате такой модификации новый модифицированный критерий принятия решений в условиях неопределенности обозначаем кратко как ММ _γ(УТ)-критерий.

Прежде всего подчеркнем, что алгоритм оптимизации решения в рамках указанного ММ _γ(УТ)-критерия можно характеризовать следующими шагами.

На начальном шаге уточняется конкретное значение коэффициента γ (), выбор которого (см. иллюстрацию в примере 6.1 - Дополнение) должен быть реализован ЛПР в соответствии со своей системой предпочтений в пространстве доходов.

Шаг 1. Применительно к исходной матрице полезностей, которую формализовали для соответствующей задачи оптимизации решения в условиях неопределенности, по формулам (*), (**) и (***) реализуются процедуры требуемой γ(УТ)-модификации. В результате получается новая модифицированная матрица полезностей.

Шаг 2. Для указанной новой модифицированной матрицы полезностей реализуются процедуры классического ММ-критерия. Это означает, что к такой матрице дописывается дополнительный столбец. Его элементы определяются как самые плохие (наименьшие) элементы соответствующей строки указанной матрицы.

Шаг 3. По элементам дополнительного столбца модифицированной матрицы полезностей определяется наилучшее / оптимальное решение. А именно, это – решение, которому соответствует наилучший (наибольший) показатель в дополнительном столбце указанной матрицы.

Соответственно, в рамках рассматриваемого здесь ММ _γ(УТ)-критерия семейство линий уровня критерия будет определяться равенствами типа:

.

Здесь

• К – показатель линии уровня;

• γ - выбранный ЛПР показатель коэффициента частичного сдвига линий уровня критерия к утопической точке поля полезностей;

• ∆_α - соответствующие показатели (применительно к каждой координатной оси), добавление которых к аргументам критериальной функции, обеспечивает именно100%-ый сдвиг семейства линий уровня критерия к утопической точке поля полезностей ().

Пусть

– вариант возможного решения ЛПР

– вариант возможной ситуации

– доход / прибыль для ЛПР, если будет принято решение i, а ситуация сложится j-ая;

– соответствующая исходная матрица полезностей для задачи оптимизации.

- требуемые «добавки» к элементам j-го столбца исходно матрицы полезностей при реализации процедур γ(УТ)-модификации (в рамках предпочтений ЛПР).

Тогда для целевой функция модифицированного критерия имеем:

,

где

.

Графическая интерпретация для семейства линий уровня этого критерия, а также соответствующие особенности выбора оптимального решения, уже были представлены выше на рис. 6.1 и 6.2.

Иллюстрацию численных процедур этого метода рассмотрим (для удобства сравнения результатов) на том же примере, который уже был использован в главе 1.

ПРИМЕР 6.1. Для удобства изложения напомним исходные данные в рамках рассматриваемого примера. А именно, после формализации задачи принятия решений выделено множество из 4-х случайных событий, которые необходимо учитывать в рамках соответствующих решений. Кроме того, пусть анализируются 6 альтернативных решений , из которых требуется выбрать наилучшее. При этом соответствующая матрица полезностей имеет вид:

Решения	Доходы при событиях:
X1	5	4	3	3
X2	6	2	6	4
X3	-3	6	2	12
X4	3	9	1	5
X5	7	1	5	3
X6	6	6	1	4

Найдем наилучшее решение по ММ _γ(УТ)-критерию применительно к ситуации, когда, например, ЛПР для параметра γ (в рамках указанной модификации классического критерия пессимизма) выбирает значение γ= 0,5.

Шаг 1. Сначала подчеркнем, что соответствующая утопическая точка в поле полезностей применительно к этой задаче имеет координаты:

Х_У = (7; 9; 6; 12).

Как видим, максимальная координата этой точки составляет 12. Соответственно далее по формуле (*) определяем показатели для величин «сдвигов» по j-ой координатной оси в пространстве доходов (для случая 100%-ой реализации таких сдвигов):

= 12 – 7 = 5; = 12 – 9 = 3;

= 12 – 6 = 6; = 12 – 12 = 0.

После этого определяем показатели с учетом требований ЛПР применительно к частичной реализации соответствующего сдвига (50% вместо 100% при указанных значениях ):

= 0,5∙5 = 2,5; = 0,5∙3 = 1,5;

= 0,5∙6 = 3; = 0,5∙0 = 0.

Наконец, с учетом формул перехода к новым элементам матрицы (****) выписываем модифицированную матрицу полезностей:

Решения	Доходы при событиях:
X1	7,5	5,5	6	3
X2	8,5	3,5	9	4
X3	-0,5	7,5	5	12
X4	5,5	10,5	4	5
X5	9,5	2,5	8	3
X6	8,5	7,5	4	4

Шаг 2. Для указанной новой модифицированной матрицы полезностей реализуем процедуры классического ММ-критерия. Они представлены элементами соответствующего дополнительного столбца, который дописываем к этой матрице.

Решения	Доходы при событиях:				Показатель ММ γ(УТ)-критерия
X1	7,5	5,5	6	3	3
X2	8,5	3,5	9	4	3,5
X3	-0,5	7,5	5	12	-0,5
X4	5,5	10,5	4	5	4
X5	9,5	2,5	8	3	3
X6	8,5	7,5	4	4	4

Шаг 3. Находим самый большой элемент в дополнительном столбце модифицированной матрицы полезностей. Он равен 4 (и выделен в дополнительном столбце матрицы). Соответствующие альтернативные решения (альтернативы X₄ и X₆) являются оптимальными по ММ _γ(УТ)-критерию (при γ = 0,5). Любая из них может быть выбрана в качестве наилучшей. Кстати, объясните самостоятельно, почему.

ЗАМЕЧАНИЕ. Сравнивая полученный здесь результат с результатом выбора по классическому ММ-критерию (без указанной γ(УТ)-модификации, см. пример 1.1) видим, что оптимальный выбор изменился. Здесь модифицированный ММ _γ(УТ)-критерий выбрал альтернативы X₄ и X₆ , в то время как классический ММ-критерий выбрал альтернативу X₁. Более того, подчеркнем, что в рамках модифицированного ММ_γ(УТ)-критерия еще и альтернатива X₂ стала ранжироваться как более предпочтительная, чем альтернатива X₁ (которую выбирает ММ-критерий без указанной модификации).

Вообще, в рамках рассмотренного здесь модифицированного ММ_γ(УТ)-критерия анализируемые альтернативы ранжируются (по убыванию предпочтения) следующим образом:

X₄ и X₆, X₂, X₁ и X₅, X₃.

Это ранжирование не совпадает с ранжированием по обычному классическому ММ-критерию (см., например, пример 1.1 применительно к анализу первых пяти таких альтернатив). Естественно, для тех ЛПР, которые именно так и ранжировали бы указанные альтернативные решения, соответствующая модификация (при γ = 0,5) вполне могла бы соответствовать предпочтениям ЛПР. Как видим, менеджерам необходимо понимать особенность представленной здесь модификации классического ММ-критерия и уметь использовать ее, чтобы более эффективно адаптировать линии уровня критерия применительно к системе предпочтений ЛПР. Возможности для оценки приемлемых значений коэффициента γ () в рамках рассматриваемой модификации проиллюстрированы ниже следующим дополнением к этому примеру.