Возможность оценки и выбора параметра γ для конкретного лпр при γ(ут)-модификации в рамках критерия Гурвица

Как и для классического ММ-критерия, в этом пункте дополнительно отметим ещё одну особенность, связанную с возможностями использования представленного HW_γ(УТ)-критерия. А именно, зная выбор конкретного ЛПР, который был сделан им применительно к определённой задаче принятия решений в условиях неопределённости, и при этой модификации можно получать оценки для допустимых значений параметра γ применительно к системе предпочтений этого ЛПР. Другими словами, можно определять, на сколько процентов следует реализовать «сдвиг» семейства линий уровня критерия к утопической точке поля полезностей, чтобы адаптироваться к системе предпочтений ЛПР. Такой подход позволяет оценивать и уточнять применительно к конкретному ЛПР (по результатам известных бывших и последующих выборов) соответствующий характер линий уровня критерия Гурвица. В частности, по значениям указанного параметра можно интерпретировать степень склонности ЛПР к более оптимистическим решениям (ближайшим к утопической точке поля полезностей) и степень склонности ЛПР к осторожным классическим решениям. Для иллюстрации соответствующего подхода к оценке параметра «γ» рассмотрим следующее дополнение к примеру 6.2.

ПРИМЕР 6.2 (Дополнение: иллюстрация процедур оценки коэффициента γ в формате предпочтений ЛПР для критерия Гурвица). Рассмотрим упрощенную ситуацию, которая обсуждалась выше в качестве условного примера, когда после формализации задачи принятия решений в условиях неопределенности было выделено множество из 4-х случайных событий. При этом, напомним, выбиралось лучшее решение из шести альтернативных решений .

Пусть, например, в рамках этой ситуации известно, что некоторое ЛПР выбирает только именно альтернативу X₄. Оценим возможный диапазон значений для параметра γ применительно к этому ЛПР. Для этого предварительно дополним исходную матрицу полезностей примера тремя дополнительными столбцами, в которых представим соответствующие требуемые показатели в рамках рассматриваемой здесь модификации. Элементы последнего третьего столбца для компактности записи представим сначала только в виде обозначений для соответствующих функций переменной γ в области . Необходимые процедуры представлены ниже:

Решения	Доходы при событиях:				Показатель позиции пессимизма	Показатель позиции оптимизма	Показатель HWγ(УТ)- критерия
X1	5	4	3	3	3	5+2∙γ	f1
X2	6	2	6	4	Min{2+3∙γ; 4}	6+2,4∙γ	f2
X3	-3	6	2	12	-3 + 5∙γ	12	f3
X4	3	9	1	5	Min{1+6∙γ; 5}	9+1,2∙γ	f4
X5	7	1	5	3	Min{1+3∙γ; 3}	7+2∙γ	f5
X6	6	6	1	4	Min{1+6∙γ; 4}	6+2∙γ	f6

Для соответствующих показателей третьего столбца модифицированной матрицы полезностей имеем (при):

f₁ = f₁(γ) = 0,8∙3 + 0,2∙(5 +2∙γ)

f₂ = f₂(γ) = 0,8∙ Min{2+3∙γ; 4} + 0,2∙(6 +2,4∙γ)

f₃ = f₃(γ) = 0,8∙(-3 + 5∙γ) + 0,2∙12

f₄ = f₄(γ) = 0,8∙ Min{1+6∙γ; 5} + 0,2∙(9 +1,2∙γ)

f₅ = f₅(γ) = 0,8∙ Min{1+3∙γ; 3} + 0,2∙(7 +2∙γ)

f₆ = f₆(γ) = 0,8∙ Min{1+6∙γ; 4} + 0,2∙(6 +2∙γ)

Теперь воспользуемся тем, что согласно условию, ЛПР выбирает только именно альтернативу X₄. В контексте данного модифицированного HW_γ(УТ)-критерия это означает, что значение показателя составляющее 0,8∙ Min{1+6∙γ; 5} + 0,2∙(9 +1,2∙γ) (см. строку, соответствующую альтернативе X₄) оказалось самым большим (из всех показателей дополнительного столбца). Следовательно, можно выписать соответствующую систему линейных неравенств относительно неизвестного значения γ. В веденных обозначениях интересующая нас система неравенств имеет следующий вид:

f₄ > f₁

f₄ > f₂

f₄ > f₃

f₄ > f₅

f₄ > f₆

Ее решение представлено на рис. 6.6 (графическим методом). Для удобства работы с представленными там графиками введенных выше функций f₁ - f₆ приведем дополнительно необходимые расчеты применительно к использованным на рис. 6.6 значениям этих функций в указанных на рисунке точках. А именно:

• для f₁ -

f₁(0) = 0,8∙3 + 0,2∙5 = 3,4

f₁(1) = 0,8∙3 + 0,2∙7 = 3,8

• для f₂ -

f₂(0) = 0,8∙2 + 0,2∙6 = 2,8

f₂(⅔) = 0,8∙4 + 0,2∙7,6 = 4,72

f₂(1) = 0,8∙4 + 0,2∙8,4 =4,88

• для f₃ -

f₃(0) = 0,8∙(-3) + 0,2∙12 = 0

f₃(1) = 0,8∙ + 0,2∙12 = 4

• для f₄ -

f₄(0) = 0,8∙1 + 0,2∙9 = 2,6

f₄(⅔) = 0,8∙5 + 0,2∙9,8 = 5,96

f₄(1) = 0,8∙5 + 0,2∙10,2 = 6,04

• для f₅ -

f₅(0) = 0,8∙1 + 0,2∙7 = 2,2

f₅(⅔) = 0,8∙3 + 0,2∙8,(3) = 4,0(6)

f₅(1) = 0,8∙3 + 0,2∙9 = 4,2

• для f₆ -

f₆(0) = 0,8∙1 + 0,2∙6 = 2

f₆(1/2) = 0,8∙4 + 0,2∙7 = 4,6

f₆(1) = 0,8∙4 + 0,2∙8 = 4,8

Из рис. 6.6 видно, что для решения указанной выше системы неравенств в области достаточно рассмотреть решение только одного неравенства

f₄ > f₁,

причем именно в указанной области изменения параметра γ. Поэтому решаем неравенство

0,8∙ Min{1+6∙γ; 5} + 0,2∙(9 +1,2∙γ) > 0,8∙3 + 0,2∙(5 +2∙γ).

После упрощения получаем следующее неравенство

4,4∙γ > 0,8.

Его решение дает

γ > 0,1(8).

Соответственно решение интересующей нас системы неравенств будет следующим:

.

Итак, приемлемым для такого ЛПР будет некоторое значение из области , т.к. в рассматриваемой ситуации оптимальный выбор по модифицированному HW_γ(УТ)-критерию будет давать именно только альтернативу X₄ . Продолжая аналогичные процедуры, но уже применительно к другим ситуациям бизнеса, естественно, можно уточнять для этого ЛПР соответствующую оценку неизвестного коэффициента .

Обратим и здесь внимание на то, что представленная модификация HW_γ(УТ)-критерия также не претендует на «универсальность» (как и представленная выше в этой главе модификация ММ_γ(УТ)-критерия). Другими словами, и здесь подчеркнем, что на практике не исключены следующие ситуации. Альтернативное решение, которое предпочитает ЛПР, может оказаться таким, что оно не будет выбрано модифицированным HW_γ(УТ)-критерием ни при каком значении коэффициента . Соответственно для адаптации к предпочтениям такого ЛПР менеджеру понадобятся модификации, но уже применительно к другим производным критериям принятия решений в условиях неопределенности. Проиллюстрируем это положение применительно к рассматриваемой в этом примере ситуации.

Напомним, что в главе 2, рассматривая аналогичный пример (пример 2.2 Дополнение), было отмечено, что ни при каком значении «весового» коэффициента С соответствующий традиционный HW-критерий не выбирает альтернативу Х₆ (кстати, подчеркнем, что она не является доминируемой). Проверим, изменится ли указанная особенность, если в такой ситуации перейти от традиционного критерия Гурвица к его модификации на основе γ(УТ)-преобразования.

Сначала обратимся к случаю, когда после соответствующих уточнений ЛПР уже выбрало следующее приемлемое значение коэффициента γ:

γ = 0,5.

Применительно к указанной ситуации рассмотрим следующее продолжение предыдущего примера. Подчеркнем, что мы анализируем здесь ситуацию, когда ЛПР предпочитает именно альтернативу X₆. Кроме того, как уже подчеркивалось, нам известно, что в классе модифицированных HW_γ(УТ)-критериев принятия решений в условиях неопределенности соответствующее γ(УТ)-преобразование необходимо рассматривать применительно к случаю γ = 0,5.

Пусть требуется определить, при каком значении «весового» коэффициента С (С[0; 1]) оптимальный выбор на основе такого модифицированного HW_γ(УТ)-критерия будет соответствовать предпочтениям ЛПР, т.е. будет выбрана именно альтернатива X₆. Поскольку анализируется γ(УТ)-преобразование при γ = 0,5, то соответствующая модифицированная матрица полезностей будет такая же, как и в примере 6.1. А именно:

Решения	Доходы при событиях:
X1	7,5	5,5	6	3
X2	8,5	3,5	9	4
X3	-0,5	7,5	5	12
X4	5,5	10,5	4	5
X5	9,5	2,5	8	3
X6	8,5	7,5	4	4

Еще раз напомним, что мы анализируем ситуацию, когда известно, что ЛПР предпочитает именно альтернативу X₆. Оценим возможный диапазон значений для «весового» показателя С применительно к этому ЛПР в рамках модифицированного HW_γ(УТ)-критерия. Для этого предварительно дополним матрицу тремя столбцами. В первом представим слагаемое для показателя критерия Гурвица, обусловливаемое учетом «крайней» пессимистической позиции. Во втором – слагаемое, обусловливаемое учетом «крайней» оптимистической позиции. В третьем – результирующий показатель соответствующей модификации критерия Гурвица, по наибольшему значению которого, как раз и осуществляется выбор наилучшего решения. Соответствующие процедуры представлены ниже. Для компактной записи элементы последнего третьего столбца представлены как функции соответствующей переменной «с» и вынесены за пределы таблицы:

Решения	Доходы при событиях:				Учет позиции пессимизма	Учет позиции оптимизма	Показатель критерия Гурвица
X1	7,5	5,5	6	3	с∙3	(1-с)∙7,5	f1(c)
X2	8,5	3,5	9	4	с∙3,5	(1-с)∙9	f2(c)
X3	-0,5	7,5	5	12	с∙ (-0,5)	(1-с)∙ 12	f3(c)
X4	5,5	10,5	4	5	с∙4	(1-с)∙10,5	f4(c)
X5	9,5	2,5	8	3	с∙2,5	(1-с)∙9,5	f5(c)
X6	8,5	7,5	4	4	с∙4	(1-с)∙8,5	f6(c)

Здесь для введенных в таблице функций имеем -

f₁(c) = с∙3+(1-с)∙7,5 = - 4,5∙с + 7,5

f₂(c) = с∙3,5+(1-с)∙9 = - 5,5∙с + 9

f₃(c) = с∙(-0,5)+ (1-с)∙12 = - 12,5∙с + 12

f₄(c) = с∙4+(1-с)∙10,5 = - 6,5∙с + 10,5

f₅(c) = с∙2,5+(1-с)∙9,5 = = - 7∙с + 9,5

f₆(c) = с∙4+(1-с)∙8,5 = - 4,5∙с + 8,5

Теперь воспользуемся тем, что согласно условию, ЛПР выбирает альтернативу X₆. В контексте данного критерия это означает, что показатель - 4,5∙с + 8,5 , соответствующий этой альтернативе, оказался самым большим из всех показателей третьего дополнительного столбца. Следовательно, можно выписать следующую систему линейных неравенств относительно неизвестного значения интересующего ЛПР параметра с:

- 4,5∙с + 8,5 > - 4,5∙с + 7,5

- 4,5∙с + 8,5 > - 5,5∙с + 9

- 4,5∙с + 8,5 > - 12,5∙с + 12

- 4,5∙с + 8,5 > - 6,5∙с + 10,5

- 4,5∙с + 8,5 > - 7∙с + 9,5

Предпоследнее неравенство после элементарного упрощения имеет вид с > 1. Следовательно в области с[0; 1] интересующая нас система неравенств не имеет решения. Итак, как видим, в рамках анализируемой ситуации при γ = 0,5 соответствующее γ(УТ)-преобразование не помогает адаптировать линии уровня критерия Гурвица таким образом, чтобы соответствовать предпочтениям ЛПР (чтобы выбирать альтернативу X₆ в качестве оптимальной).

Однако, тем не менее, может быть такому ЛПР (предпочитающему именно альтернативу X₆ в рамках рассматриваемого примера) следует искать приемлемое γ(УТ)-преобразование линий уровня критерия Гурвица при других значениях коэффициента γ? Покажем, что в нашем примере указанное требование не будет выполнено, ни при каких значениях коэффициента γ из области значений γ[0; 1]. Для этого нам, в частности, будет достаточно доказать, что при любом γ[0; 1] и любом С[0; 1] альтернатива X₆ будет иметь такой показатель соответствующего модифицированного критерия, который будет меньшим, чем показатель другой альтернативы, например, альтернативы X₄. С этой целью обратим внимание на следующее. При любом фиксированном γ[0; 1] альтернативы X₄ и X₆ характеризуются показателями:

Альтернативы
X4	3 + 5∙γ	9+ 3∙γ	1 + 6∙γ	5
X6	6 + 5∙γ	6 + 3∙γ	1 + 6∙γ	4

Далее, при любом С[0; 1] оба слагаемые для результирующего показателя модифицированного критерия, которые соответствуют «крайним» позициям пессимизма и оптимизма, будут определяться следующим образом:

Альтернативы	Позиция пессимизма	Позиция оптимизма
X4	С∙	(9+3∙γ)∙(1-С)
X6	С∙	(6+5∙γ)∙(1-С)

Теперь уже легко видеть, что суммарный показатель (как сумма указанных слагаемых для каждого из альтернативных решений) в рамках рассматриваемого HW_γ(УТ)-критерия для альтернативы X₆ всегда будет больше, чем аналогичный суммарный показатель для альтернативы X₄. Действительно, каждое отдельное слагаемое в результирующем показателе HW_γ(УТ)-критерия для альтернативы X₆ , как видим, является более предпочтительным. Следовательно, и их сумма всегда будет большей для альтернативы X₆ (по сравнению с альтернативой X₄).

Таким образом, представленный здесь модифицированный HW_γ(УТ)-критерий не может быть приемлемым в любых ситуациях. Как видим, еще раз подтверждается уже проиллюстрированное выше положение. А именно: чем больше будет резерв возможных модификаций указанного типа в арсенале менеджера, тем более эффективными могут быть процедуры адаптации линий уровня критерия к системе предпочтений ЛПР. В следующем пункте рассмотрим соответствующие процедуры γ(УТ)-преобразований линий уровня критерия применительно к критерию произведений.