-
Уголопределяется следующим образом
Материал лекции изложен в учебнике С.А.Фролова /изд. 1978 г./ на страницах 139-147,190-192,195-197.
15.1
Л Е К Ц И Я №15
Тема лекции.
Прямые и плоскости, касательные к кривым поверхностям.
Содержание лекции.
Понятия и определения. Построение плоскостей, касательиых к поверхности. Взаимное касание поверхностей.
15.1 Понятия и определения.
Плоскостью, касательной к поверхности в некоторой её точке, называют плоскость, образованную прямыми, касательными к плоским кривым, принадлежащим поверхности и проходящим через ту же точку.
На
рис. 15.1 показаны три плоские кривые
m1,m2,m3,
принадлежащие поверхности
и проходящие через точку К.
Прямые t1,t2,t3,
это прямые, касательные соответственно
к кривым m1,
m2,
m3
в
точке
К.
Все эти три прямые /t1,t2,t3
/ будут лежать в одной плоскости. Эту
плоскость, мы и будем называть касательной
плоскостью
к кривой поверхности
в точке К.
В точке К
к поверхности можно провести сколь
угодно много касательных прямых. Все
они будут лежать в той же плоскости
.
Для построения касательной плоскости
нет необходимости задавать большое
количество касательных прямых,
принадлежащих этой плоскости. Для этого,
как известно, достаточно задать две
прямые. В качестве двух касательных
прямых, определяющих собой касательную
плоскость, выбирают такие прямые,
построение которнх является наиболее
простым и удобным.
При построении касательных прямых к плоским кривым линиям
15.2
необходимо помнить, что кривая m и касательная к ней - прямая t должны быть
к
о м п л а н а р н ы
, т.е. должны принадлежать одной плоскости.
Так, если все точки кривой m
, принадлежат плоскости
/рис. 15.2/ , то прямая t
,касающаяся кривой m
в точке К
также должна принадлежать плоскости
.
Умение строить касательную плоскость к поверхности, позволяет решать задачи на построение нормалей к поверхности.
Нормалью к поверхности в данной точке называют прямую, перпендикулярную к касательной плоскости и проходящую через точку касания.
15.2 Построение плоскостей, касательных к поверхности.
Задачи на построение касательных плоскостей могут быть разделены на три группы.
1 - ая группа. Задачи на построение плоскости, касающейся поверхности в данной точке.
2 - ая группа. Задачи на построение касательной плоскости, проходящей через точку или прямую, расположенные вне поверхности.
3 - яя группа. Задачи на построеиие касательной плоскости по определенным геометрическим условиям
Рассмотрим эти группы задач в указанной последовательности.
1 – ая группа.
Задача.
Постройть плоскость
,
касательную к поверхноети вращения в
заданной точке К
/рис.15.3/.
Решение
На поверхности через точку К проводим окружность m и в точке К строим прямую –t1 , касательную к этой окружности. Прямая – t1 лежит в горизонтальной плоскости, т.е. в плоскости окружности m.
Вторую
касательную, определяющую плоскость
,
строим как
15.3
прямую,
касательную к образующей поверхности,
проходящей через точку К.
Эта образующая, представляя собой, часть
дуги окружности, будет, однако,
проецироваться на V
дугой эллипса. Чтобы упростить, решение
преобразуем чертеж. Для этого поверхность
вместе с точкой К
повернем
вокруг оси поверхности до положения,
при котором точка К
окажется
на очерке поверхности. Теперь через эту
точку просто провести касательную
прямую t21,
фронтальная
проекция которой строится как прямая,
касательная в точке
,
к очерку поверхности. Прямая t21
пересечет ось поверхности в точке А.
Осуществляя обратный поворот поверхности
с точкой К
до прежнего положения, получаем искомое
положение касательной прямой t2.
Касательные
прямые t1
и t2,
как две пересекающиеся прямые, определяют
собой касательную плоскость
.
Задача. Дана фронтальная проекция прямой 1 , касающейся конуса в точке К. Построить горизонтальную проекцию этой прямой /рис. 15.4/.
15.4
Решение
Задачу можно решить двумя способами.
Первый путь решения. Если через прямую l провести фронтально-проецирующую плоскость, то последняя рассечет конус по плоской кривой - эллипсу. Прямая l в точке К окажется касательной к этому эллипсу. Построив горизонтальную проекцию эллипса, мы сможем в точке К’ построить к этой проекции касательную прямую, которая и будет представлять собой искомую горизонтальную проекцию прямой l . Однако такой путь решения в данном случае не является рациональным и не может быть рекомендован из-за своей сложности и недостаточной точности решения.
Второй путь решения. Этот путь, показанный на рис. 15.4, по сравнению с первым, является более простым и более точным. Через точку К к конусу можно провести бесчисленное множество касательных прямых, одной из которых является заданная прямая 1 . Все эти прямые лежат в одной - касательной плоскости. Легко построить такую плоскость, а затем потребовать, чтобы заданная прямая 1 лежала в этой плоскости.
Касательную
плоскость
задаем
образующей m
по
которой
15.5
плоскость
будет касатьея конуса, и прямой t
, касающейся в точке А
основания конуса. Горизонтальную
проекцию прямой найдем из условия, что
прямая 1
доджна пересекать прямую t
в точке В.
2 - ая группа.
Задача. Через
заданную точку А
провести плоскость
,
касательную к конусу /рис. 15.5/.
Решение
Любая плоскость, касательная к конусу будет касаться последнего по одной из его образующих. Каждая образующая проходит через вершину
конуса S . Следовательно, вершина конуса S всегда будет принадлежать любой касательной плоскости. Если точки А и S принадлежат касательной плоскости, то и прямая (АS) будет принадлежать этой плоскости и, следовательно, определять эту плоскость. Взяв на этой прямой точку Т, лежащую в плоскости основания конуса, проводим через нее прямые t1 и t2 , касающиеся основания конуса. Как видим, задача имеет два решения. Одной из касательных плоскостей будет плоскость
15.6
второй
-
Для успешного решения других подобннх задач полезно запомнить следующее правило.
Если прямая проходит через вершину конуса и эта прямая не лежит внутри конической поверхности, то через эту прямую всегда можно провести к конусу касательную плоскость.
3 - яя грутша.
Задача.
Построить плоскость
,
касательную к сфере и параллельную
заданной плоскости
/рис. 15.6/.
Решение.
Задача
значительно упростится, если чертеж
преобразовать так, чтобы плоскость
стала проецирующей. На новой плоскости
V1
мы
легко находим положение касательных
плоскостей
и
,
и точек касания
и
.
Как видим, задача имеет два решения. На
рис. 15.6 приведино лишь одно из них -
плоскоть
. Имея точку
, последовательно находим положение
15.7
точек
.
Примечание.
Радиус
сферы, проведенный из ее центра в точку
касания - К,
перпендикулярен к плоскости
,
т.е.
.
Обратить внинание слушателей, что по
этой причине проверкой правильности
решения задачи может служить обязательное
выполнение условия
15.3 Взаимное касание поверхностей.
Если
две поверхности в некоторой точке
касаются друг друга, то в этой точке они
имеют общую касательную плоскость и
общую нормаль.
В качестве примеров, иллюстрирующих это положение, на рис. 15.7 приведены фронтальные проекции касающихся сфер /рие. 15.7а/ и касающихся эллипсоидов /рис. 17^76/.
Если в первом случае общая нормаль к сферам в точке их касания - К проходит через центры этих поверхностей, то во втором случае это условие не соблюдается и общая нормаль к эллипсоидам в точке их касания может быть построена только как перпендикуляр к их общей касательной плоскости.
В качестве примера взаимного касания поверхностей решим следующую задачу.
Задача.
Дана фронтальная проекция сферы, касающейся поверхности вращения. Построить горизонтальную проекцию сферы и указать точку касания поверхностей /рис. 15.8/
15.8
Решение
Положение касающейся сферы относительно поверхности врания несложно определить в том случае, если центр сферы и ось поверхности вращения будут лежать в плоскости, параллельной плоскости проекций V. В этом случае фронтальные очерки поверхностей будут касаться друг друга, а точка их соприкосновения будет искомой точкой касания.
Вращая сферу вокруг оси поверхности вращения, находим указанное положеше сферы, ее центр О1, и точку касашя К1.
Затем производим обратный поворот сферы до ее начального положения, и находим искомую горизонтальнуго проекцию сферы и точку касания К.
Примечание. В качестве проверки правильности решения задачи может быть рассмотрена принадлежность точки касания К прямой (0В) в повернутом и начальном положениях.
Обратить внимание, что пряиая (0В) после обратного поворота должна пересечь ось поверхности вращения в той же точке С.
Материал лекции № 15 изложен в учебнике С.А.Фролова /изд. 1978 г./ на стр. 176 - 181 .
16.1
Л Е К Ц И Я №16
Тема лекции
Аксонометрические проекции / Аксонометрия /.
Содержание лекции
Сущность и основные положения аксонометрического проецирования. Прямоугольная изометрия. Прямоугольная диметрия, Построение очерков поверхностей в аксонометрии.