4.2 Пересечение прямой с плоскостью.

На прошлой лекции мы рассмотрели случай параллельности прямой и плоскости. Еоли прямая не параллельна плоскости, она будет с ней пересекаться. Возникает одна из основных позиционных задач - отыскание точки пересечения прямой с плоскостью.

Как же решть эту задачу?

Для того, чтобы отыскать точку пересечения прямой L с плоскостью . необходимо применить следующий порядок /алгоритм/ решения / рис.4.7/.

1. Заключить прямую 1 во вспомогательную секущую плоскость . В качестве такой плоскости берется одна из проецирующих плоскостей.

2. Найти линию пересечения m данной плоскости и вспомогательной .

3. Найти точку пересечения К прямой 1 с данной плоскостью , как точку пересечения прямой l с найденой линией пересечения двух плоскостей m .

4. Выделить видимые и невидимые участки прямой 1.

4.6

Рассмотрим применение этого алгоритма к решению конкретных задач.

4.2.1 Определение точки пересечения прямой с плоскостью /прямая и

плоскость - общего положения/.

Задача

Построить точку пересечения прямой l с плоскостью .Задачу решим в двух вариантах./рис.4.8/.

а/ Плоскость задана треугольником АВС.

б / Плоскость задана следами H и v.

Пояснить на данном примере графическое выражение алгоритма решения задачи.

Отметить, что если в варианте, а/ в качестве вспомогательной секущей плоскости мы выбираем фронтально-проецирущую плоскость, то в варианте б/ - горизонтально-проецирующую.

Указать на равнозначность этих плоскостей.

Далее рассмотрим частные случаи этой задачи. Частными будем считать те задачи, в которых либо плоскость, либо прямая, являются фигурами частного, или точнее - проецирующего положения. Частное расположение одной из фигур вносит значительные упрощения в решение поставленной задачи, которые необходимо всегда учитывать.

4.7

4.2.2 Определение точки пересечеиия прямой с плоскостью

/плоскость - проецирующая, прямая - общего положения/.

В задаче 4.9а заданная плоскость - фронтально-проецирующая, в задаче 4.9 б плоскость, заданная треугольником АВС, является горизонтаиьно-проецирующей плоскостью.

Упрощение решения в данном случае состоит в том, что одну проекцию точки пересечения прямой с плоскостью мы видим на чертеже сразу, из условия ее принадлежности проецирующей фигуре - плоскости / это К^” на рис.4.9а и К’ на рис.4.9б/.

Вторая проекция точки определяется из условия ее принадлежности фигуре общего положения - прямой.

Далее, считая плоскость непрозрачной, определяем видимые и невидимые участки прямой.

4.2.3 Определение точки пересечения прямой с плоскостью /плоскость - общего положения, прямая - проецирующая/.

4.8

В первом примере /рис.4.10а/ прямая l является горизонтально-проецирущей прямой, во втором /рис.4.10б/ - фронтально-проецирующей прямой.

Как и в предыдущей задаче одну проекцию точки пересечения прямой с плоскостью видим сразу / К' в зад.4.10а/ и К" в зад. 4.10б//, т.е. из условия ее принадлежности проецирующей фигуре - прямой.

Вторую проекию точки находим из условия ее принадлежности фигуре общего положения - плоскости.

Если угодно, то можно говорить о построении второй проекции точки с помощью вспомогательной секущей плоскости .

Но, как видно из чертежа, оба решения будут графически совпадать.

Окончанием решения задачи, как и во всех предыдущих случаях, будет выделение видимых и невидимых участков прямой.

Содержание лекции Р 4 изложено в учебнике С.А.Фролова на стр. 118-

124 .

5.1

Р А 3 Д Е Л № 2

Преобразование комплексного чертежа / Лекции № 5,6 /

ЛЕКЦИЯ №5

Тема лекции.

Способы преобразования комплексного чертежа.

Содержание лекции.

Общие понятия. Способ перемены плоскостей проекций. Способ плоскопараллельного перемещения.

5.1 Общие понятия.

Из изложенного на предыдущих лекциях материала легко установить, что проекции прямой, плоскости или фигуры, находящейся в случайном положении относительно плоскостей проекций, не всегда удобны для решения той или иной конкретной задачи. Например, проекции отрезка, расположенного наклонно ко всем плоскостям проекций, не дают непосредственного представления о натуральной его длине. Можно сказать поэтому, что в данном случае проекции отрезка «неудобны» для решения поставленного вопроса. Между тем, если бы тот же отрезок был параллелен одной из плоскостей проекций, он проецировался бы на эту плоскость без искажения, и мы могли бы судить о его действительной длине без всяких дополнительных построений. При таком положении отрезка можно считать его поекции «удобными» для решения

интересующего нас вопроса.

Можно привести много примеров подобного рода.

Студент, изучивший предыдущие лекции, сумеет и сам найти ряд других примеров, подтверждащих, что при одном расположении на эпюре заданных элементов задача решается сложнее, а при другом - проще.

Способы преобразования чертежа, которые нам предстоит изучит,как раз и создают возможность так изменить проекционный чертеж, чтобы геометрическая фигура /фигуры/ после преобразования заняла такое частное положение, которое давало бы решение поставленной задачи или значительно его упрощало.

При любом способе преобразования чертежа, мы должны различать и уметь выполнять следующие четыре основные задачи.

5.1

1. Преобразование прямой общего положения в прямую уровня.

2. Преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую.

3. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость.

4. Преобразование плоскости общего положения в пло-

скость уровня.

Эти четыре основные задачи на преобразование чертежа будут в дальнейшем, при решении метрических и позиционных задач, играть исключительно важную роль.

Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществить за счет изменения взаимного положения проецируемой фигуры и плоскости проекций. При сохранении ортогонального проецирования этого можно достичь двумя принципиально различными путями.

Во-первых, введением новых плоскостей проекций, по отношению к которым проецируемая фигура, не изменяющая при этом своего положения в пространстве, окажется в частном положении.

Во-вторых, перемещением в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, остающихся неподвижными и не меняющими своего положения в пространстве.

Первый путь лежит в основе способа перемены плоскостей проекций, второй составляет теоретическую базу способа плоскопараллельного перемещения. Рассмотрим эти способы.