4.1 Взаимное пересечение двух плоскостей.

В конце прошлой лекции мы рассмотрели случай взаимной параллельности двух плоскостей.

Если плоскости не будут параллельны, они будут пересекаться. Возникает одна из основных позиционных задач - отыскание /построение/ линии пересечения двух плоскостей.

При решении последней задачи следует рассмотреть различные случаи расположения пересекающихся плоскостей относительно плоскостей проекций. Здесь могут быть 4 случая.

1. Обе пересекающиеся плоскости - одноименно проецирующие.

2. Пересекающиеся плоскости - разноименно проецирующие.

3. Одна из пересекающихся плоскостей - плоскость общего положения, другая — проецирующая.

4. Обе пересекающиеся плоскости являются плоскостями общего положения.

Рассмотрим эти случаи в том порядке, как они здесь перечислены.

4.1.1 Построение линии пересечения двух плоскостей, если обе

плоскости - одноименно проецирующие.

Рис 4.1.

4.2

На рис.4.1 даны пересекащиеся фронтально-проецирующие плоскости и .

Их линия пересечения - прямая m будет также фронтально-проецирующей прямой.

На комплексном чертеже /рис.4.1б/ фронтальная проекция прямой в виде точки m" имеется, надо лишь её обозначить.

Горизонтальная проекция линии пересечения - m' строится из уcловия, что m’ - фронтально-проецирующая прямая.

4.1.2 Построение линии пересечения двух плоскостей, если плоскости -

разноименно проецирущие.

На рис. 4.2 даны горизонтально-проецирущая плоскость и фронтально-проецирующая плоскость , которые пересекаются по прямой l.

На комплексном чертеже /рис.4.2б/ проекции этой прямой уже имеются, /они совпадают c одноименными проекциями плоскостей/ и эти проекции следует, лишь обозначить.

4.1.3 Построение линии пересечения двух плоскостей, если

одна из них - плоскость общего положения, другая -

проецирующая.

На рис. 4.3 даны горизонтально-проецирующая плоскость и плоскость общего положения , которые пересекаются по прямой 1 .

На рис. 4.4 плоскость общего положения , заданная треугольником АВС, пересекается с фронтально-проецирующей плоскостью .

4.3

В обоих случаях одна проекция линии пересечения плоскостей определяется сразу из условия её принадлежности проецирующей плоскости, это – l’на рис.4.3 и 1" на рис.4.4. Другая проекция линии пересечения легко определяется из условия её принадлежности плоскости общего положення.

При решеши задачи на построение линии пересечения плоскостей приходиться решать и вопрос видимости фигур. Так в задаче, приведенной на рис.4.4, на горизонтальной проекции часть треугольника АВС, лежащая ниже плоскости , будет невидимой.

Рассматривая вышеприведенные задачи можно сделать вывод, что построение линии пересечения плоскостей, в том случае, когда хотя-бы одна из плоскостей является проецирущей, является очень простой задачей.

По этой причине в дальнейшем, когда при решении большого круга позиционных задач, мы будем вынуждены широко пользоваться вспомогательными секущими плоскостями, в качестве последних мы, как правило, будем использовать проецирующие плоскости.

Следущая задача явится примером такого применения проецирующих плоскостей.

4.1.4 Построение линии пересечения двух плоскостей, если обе из них

являются плоскостями общего положения.

Поскольку линией пересечения двух плоскостей является прямая, то для её построения необходимо найти какие-либо две точ

4.4

ки этой прямой.

На рис. 4.5а показано как, при помощи двух вспомогательных секущих плоскостей 1 и 2, может быть найдена линия пересечения плоскостей и - прямая 1 . Плоскость 1 дает точку М этой прямой, плоскость 2 - точку N .

Рис 4.5

На рис. 4.5б приведено решение этой задачи, с помощью того же принципа,на комплексном чертеже. Здесь плоскость задана пересекающимися прямыми а и Ь, а плоскость - параллельными прямыми c и d.

В качесве секущих плоскостей выбраны фронтально-проецирующие плоскости 1 и 2. В данном случае эти плоскости являются горизонтальными, но они могли-бы ими и не быть.

Если плоскости 1 и 2 взяты параллельными, то линии их пе-ресечения с плоскостями и будут также соответственно па-раллельны, т. е.

На рис. 4.6 показано построение линии пересечения плоскостей и , заданных следами. Следы плоскостей в пределах чертежа пересекаются.

В этом случае при отыскании линии пересечения заданных плоскостей нет необходимости прибегать к помощи вспомогательных секущих

4.5

плоскостей, т.к. их роль выполняют сами плоскости проекций.

Если же следы плоскостей в пределах чертежа не пересекаются, тогда, как и в общем случае, при решении задачи следует использовать вспомогательные секущие плоскости.