2.2. Примеры экономических задач линейного программирования Понятие линейного программирования.

Линейное программирование — раздел математического, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, её целевой функции и системы ограничений.

Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов.

Задача о наилучшем использовании ресурсов.

Пусть некоторая производственная единица (цех, завод, объединение и т. д.) может выпускать n различных видов продукции (товаров), известных под номерами, обозначаемыми индексом j ( j =  ). Предприятие при производстве этих видов продукции должно ограничиваться имеющимися видами ресурсов, технологий, других производственных факторов (сырья, полуфабрикатов, рабочей силы, оборудования, электроэнергии и т. д.). Обозначим через a_ij технологические коэффициенты, которые указывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства единицы продукции j-го вида, через b_i — полные объемы имеющихся ресурсов ( j =  ), c_j — прибыль, получаемую при реализации единицы j-го вида продукта.

Требуется составить такой план выпуска продукции, который был бы технологически осуществим по имеющимся ресурсам всех видов, удовлетворял бы задаваемым ограничениям на выпуски каждого вида продукции и в то же время приносил бы наибольшую общую прибыль предприятию.

Таким образом, модель задачи о наилучшем использовании ресурсов состоит в следующем: найти такой план выпуска продукции х=( x₁, …; x_j, …, x_n ), при котором достигался бы

и выполнялись неравенства:

,

.

Задача о выборе оптимальных технологий.

В задаче о наилучшем использовании ресурсов определяется оптимальный план выпуска продукции. Пусть при производстве какого-то общественно необходимого продукта используется n технологий. При этом требуется m видов ресурсов, заданных объёмами b_i ( i =  ), c_j — ýффективность технологий, т. е. количество конечной продукции (в денежном выражении), производимой в единицу времени по j-й ( j =  ) технологии, a_ij — расход i-го ресурса в единицу времени по j-й технологии. В качестве неизвестной величины x_j — примем время, в течение которого продукция производится по j-й технологии.

Получаем следующую математическую модель задачи: найти план интенсивностей использования технологий x = ( x₁, …, x_j, …, x_n ), обеспечивающий максимум выпуска продукции в стоимостном выражении:

при ограничениях на лимитируемые ресурсы:

.

Задача о смесях.

В различных отраслях народного хозяйства возникает проблема составления таких рабочих смесей на основе исходных материалов, которые обеспечивали бы получение конечного продукта, обладающего определёнными свойствами. К этой группе задач относятся задачи о выборе диеты, составлении кормового рациона в животноводстве, горючих и смазочных смесей в нефтеперерабатывающей промышленности, смесей для получения бетона в строительстве и т. д. Высокий уровень затрат на исходные сырьевые материалы и необходимость повышения эффективности производства выдвигает на первый план следующую задачу: получить продукцию с заданными свойствами при наименьших затратах на исходные сырьевые материалы.

Модель задачи о наилучшем составе смеси рассмотрим на примере задачи о диете. Пусть нам известно содержание необходимых для кормления животного питательных веществ в различных применяемых кормах. Известна также цена единицы каждого вида корма. Требуется выбрать рацион — набор и количество кормов — так, чтобы каждое питательное вещество содержалось в нем в необходимом количестве и, кроме того, чтобы суммарные расходы на этот рацион были минимальны.

Введем условные обозначения:

m — число различных необходимых питательных веществ, n — число видов кормов, a_ij — количество единиц i-го питательного вещества, содержащееся в единице j-го вида кормов, b_i — минимальная суточная потребность в i-м питательном веществе, c_j — стоимость единицы j-го вида корма, x_j — количество единиц j-го вида корма, используемое в рационе и подлежащее определению.

Математическая модель задачи: найти

min

при ограничениях:

,

.