Алгоритм Гомори.

В 1954 г. Дж. Данциг высказал идею о том, что построение выпуклой оболочки целочисленной области для задачи (G^ц, Z) можно осуществлять поэтапно и решать получаемые при этом задачи. Однако при этом возникли вопросы как строить ограничения новой задачи и как обеспечить конечность процесса.

Ответ на эти вопросы был впервые получен Р. Гомори, который предложил алгоритмы решения целочисленных и частично целочисленных задач.

Алгоритм Р. Гомори состоит из следующих процедур:

1. Решается (G, Z)-задача, соответствующая исходной (G^ц, Z)-задаче.

2.  Полученное оптимальное решение задачи, если оно существует, проверяется на целочисленность. Если условие целочисленности выполняется по всем переменным, то оптимальное решение (G, Z)-задачи есть оптимальное решение (G^ц, Z)-задачи. Если условие целочисленности не выполняется хотя бы по одной координате, то переходят к третьему этапу. Если (G, Z)-задача оказывается неразрешимой, то (G^ц, Z)-задача тоже решения не имеет.

3. Строится дополнительное ограничение, обладающее тем свойством, что с его помощью отсекается часть области, в которой содержится оптимальное решение (G, Z)-задачи и не содержится ни одного допустимого решения (G^ц, Z)-задачи. Процесс построения дополнительных ограничений и решения получаемых при этом (G, Z)-задач продолжается до тех пор, пока не получим целочисленного решения или не убедимся в неразрешимости задачи.

При этом свойства, которыми должно обладать каждое из дополнительных ограничений при переходе от одной задачи к другой следующие:

• дополнительное ограничение должно быть линейным, чтобы оставаться в области применимости аппарата линейного программирования;

• дополнительное ограничение должно отсекать часть области, в которой не содержится допустимых решений целочисленной (G^ц, Z)-задачи, но есть найденное оптимальное решение нецелочисленной (G, Z)-задачи, т. е. ограничение должно обладать свойством правильности, которое не позволяет потерять оптимальное решение исходной (G^ц, Z)-задачи.

Пусть x(G, Z) — оптимальное решение (G, Z)-задачи, которое является недопустимым решением для (G^ц, Z)-задачи. Неравенство

(18)

определяет правильное отсечение, если удовлетворяет

• условию отсечения: x(G, Z) не удовлетворяет неравенству (18),

• условию правильности: любое допустимое решение (G^ц, Z), удовлетворяет неравенству (18).

Методы, основанные на использовании процедуры построения правильных отсечений, получили название методов отсечения.

Первый алгоритм р. Гомори решения полностью целочисленных задач.

Следуя общей схеме методов отсечения, решим (G, Z)-задачу (14,15,17), соответствующую (G^ц, Z)-задаче (14—17). Пусть x(G, Z) — ее оптимальное решение. Проанализируем координаты x(G, Z) на целочисленность. Если все координаты вектора x(G, Z) целые, то x(G, Z)= x(G^ц, Z). Если хотя бы одна координата, пусть x_i, будет нецелой, поступим следующим образом.

Обозначим через N совокупность небазисных переменных и на основании последней симплексной таблицы запишем разложение x_i по небазисным переменным x_j, jN.

(19)

Так как x_i — нецелая величина, обозначим ближайшее целое число, не превосходящее x_i, через [x_i] и определим дробную часть: {x_i}=x_i—[x_i]. Очевидно, x_i >0.

Покажем, что по i-ой строке симплексной таблицы (G, Z)-задачи (в которой стоит нецелая координата решения) можно определить дополнительное линейное ограничение, обладающее свойствами правильности.

Т е о р е м а 2. Пусть x=(x₁,…, x_n),— допустимое решение (G^ц, F)-задачи, тогда соотношения

определяют правильное отсечение.

Следствие. Любое оптимальоне решение x(G, Z) (G, Z)-задачи, не являющееся допустимым решением(G^ц, Z)-задачи, не удовлетворяет условию правильного отсечения (20).

Очевидно, что количество дополнительных ограничений будет нарастать по мере решения вспомогательных (G, Z)-задач, оптимальные планы которых будут содержать нецелые координаты, т. е. возникает проблема размерности.

Р. Гомори предложил прием, позволяющий ограничить размеры рассматриваемых симплексных таблиц вспомогательных задач величиной (n+2)  (k+1), где n — количество переменных (G, Z)-задачи, k — число небазисных переменных ее. Этот прием основывается на том, что нас интересует дополнительное ограничение лишь как способ отсечения нецелочисленного оптимального решения вспомогательной задачи, полученной на данном шаге, и перехода к следующей задаче.

Последовательность (G, Z)-задач пометим индексом k=0,1,… , соответствующим номеру итерации в последовательном приближении к решению исходной (G^ц, Z)-задачи, и обозначим (G_k, Z). При этом (G₀, Z)-задача соответствует (G, Z)-задаче (задаче без требования целочисленности).

Переменную z_i, которая определяется дополнительным линейным ограничением (9.20) и строится по некоторой целочисленной координате оптимального решения (G_k, Z)-задачи (k=0, 1, 2, …) обозначим x_n+k+1.

Чтобы размерность последовательности (G_k, Z)-задач не возрастала, вычеркнем из симплекс-таблицы переменную, по которой построено дополнительное линейное ограничение.

Перейдем к вычислительной схеме.

1. Решим (G_k, Z)-задачу (вначале k=0) методом последовательного улучшения плана.

Пусть в базис оптимального решения вошли векторы A_s1, … , A_sm. Параметры последней симплекс-таблицы обозначим через x_ij;

_j= x_0j, i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.

Если все базисные составляющие x_i0 оптимального решения x(G_k, Z) (G_k, Z)-задачи целые, то x(G_k, Z)= x(G^ц, Z). Если некоторая координата x_i0 оптимального решения x(G_k,F) нецелая, то перейдем к п. 2.

2. Если среди совокупности координат оптимального решения x(G_k, Z) имеется единственная нецелая координата, то дополнительное линейное ограничение (9.20) строится по этой координате. Если нецелых координат в x(G_k, Z) более одной, то выберем координату с наименьшим номером. Пусть ею оказалась x_l0. Составим дополнительное линейное ограничение

3. Добавим условия (21, 22) к условиям (G_k, Z)-задачи. Получим новую (G_k+1, Z)-задачу. Так как оптимальное решение x(G_k, Z) (G_k, Z)-задачи определяло одну из вершин многогранника условий, то оно может быть выбрано в качестве первоначального опорного решения для вновь полученной задачи. А это означает, что последнюю симплексную таблицу (G_k, Z)-задачи можно взять в качестве исходной для (G_k+1, Z)-задачи, дополнив ее условием (21).

Итак, симплексная таблица для (G_k+1, Z)-задачи получается из последней симплексной таблицы для (G_k, Z)-задачи путем окаймления (i+1)-строки с элементами:

x_{i+1 0}= – { x_{l 0}},

x_{i+1 j}= – { x_{l j}},

где j  N_k, где N_k — небазисные переменные (G_k, Z)-задачи.

x_{i+1 n+1}= 1,

x_{i+1 j}= 0, j N_k.

Получим новую задачу, переменными которой являются x₁, x₂, x₃, … , x_n, x_n+k+1. Условия этой задачи разрешены относительно x_s1, … , x_sm переменных и новой переменной x_n+k+1, а линейная форма выражена через небазисные переменные (G_k, Z)-задачи. Так как мы занимаемся максимизацией Z(x) и решение x^* для (G_k, Z)-задачи оптимально, то все _j  0. Поэтому процесс перехода к новому решению (G_k+1, Z)-задачи не может быть осуществлен по методу уточнения плана. В то же время x_{i+1 0}= – { x_l0} и поэтому вектор A₀ симплексной таблицы не является опорным решением для (G_k+1, Z)-задачи, так как решением называется вектор, все координаты которого неотрицательны и удовлетворяют условию принадлжности области G_k+1. Поэтому назовем полученный вектор x=(x₁^*, … , x_i^*, x_{i+1, 0}) псевдорешением задачи (G_k+1, Z) и перейдем к дальнейшему преобразованию симплекс- таблицы.

Обозначим через k номер псевдорешения (G_k, Z)-задачи; тогда направляющей строкой является i+k+1-я строка, k = 0, 1, 2, … . Поэтому на каждом этапе преобразования таблицы вектор A_i+k+1 будет выводиться из таблицы. Через конечное число шагов либо будет найдено целочисленное решение, либо будет обнаружена ее неразрешимость, а тем самым неразрешимость (G^ц, Z)-задачи.

Если решение (G_k, Z)-задачи завершается построением оптимального целочисленного решения x^*, то m, первых его компонент определяют решение целочисленной задачи; если среди координат x^* есть дробные, то одна из дробных компонент порождает дополнительное ограничение и процесс решения должен быть продолжен с новой окаймляющей строкой. Строка, используемая ранее для окаймления, вычеркивается и больше для построения расширенных задач не восстанавливается.

Процедуру решения (G_k, Z)-задачи (k = 0, 1, …) и анализа полученного решения назовем большой итерацией. Номер большой итерации совпадает с номером решаемой (G_k, Z)-задачи.

Результатом большой итерации является переход к новой (G_k+1, Z)-задаче либо окончание решения задачи.

П р и м е р 2. Найти максимальное значение функции с помощью первого алгоритма Р. Гомори:

Z=3x₁+2x₂+x₃+x₄+x₅

при условиях

x₁+ x₂+ x₃ =13,

x₁ - x₂ + x₄ =6,

-3x₁+ x₂ + x₅=9,

x_j0 (j=1,2,…,5),

x_j — целые (j=1,2,…,5).

Р е ш е н и е. Для определения оптимального плана целочисленной задачи сначала найдем оптимальный план задачи без условия целочисленности.

Найденный оптимальный план X=(19/2, 7/2, 0, 0, 34) не является оптимальным планом целочисленной задачи, поскольку две компоненты x₁ и x₂ имеют нецелочисленные значения. Составим дополнительное ограничение для переменной x₂. Из последеней симплекс-таблицы имеем:

x₂ +1/2 x₃ -1/2 x₄ =7/2.

Таким образом, к системе ограничений задачи добавляется неравенство:

x₃ + x₄ 1.

Из последней симплекс-таблицы видно, что исходная задача целочисленного программирования имеет оптимальный план X^*=(9; 4; 0; 1; 32). При этом плане значение целевой функции равно Z_max =35.