Постановка задачи.

Предприятие должно выпустить два вида продукции А и В, для изготовления которых используется три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на производство единицы продукции данного вида приведены в таблице 1. В ней же указаны запасы сырья каждого вида, которое может быть использовано на производство единицы продукции данного вида.

Известно, что цена единицы продукции может изменяться для изделия А от 2 до 12 тыс. руб., а для изделия В — от 13 до 3 тыс. руб., причем эти изменения определяются соотношениями

,

,

где .

Для каждого из возможных значений цены единицы продукции каждого из видов найти такой план их производства, при котором общая стоимость продукции является максимальной.

Табл. 1

Вид сырья	Нормы расхода сырья на производство единицы продукции		Запасы сырья
	А	В
I	4	1	16
II	2	2	22
III	6	3	36

Решение.

Составим математическую модель задачи. Обозначим планируемый выпуск изделий вида А через , изделий вида В — через . Тогда математическая постановка задачи состоит в определении для каждого значения параметра максимального значения функции

(7)

при условиях

(8)

Геометрическое решение.

Чтобы найти решение задачи (7) — (8), строим многоугольник решений, определяемый системой неравенств (8) и условием неотрицательности переменных (рис. 3).

Рис. 3

После этого, полагая , строим прямую (число 26 взято произвольно) и вектор  = (2; 13). Передвигая построенную прямую в направлении вектора , видим, что последней общей точкой ее с многоугольником решений ОАВED является точка А(0; 11). Следовательно, задача, полученная из задачи (7) — (8) при , имеет оптимальный план . Это означает, что если цена единицы продукции А равна 2+0 = 2 тыс. руб., а цена единицы продукции В равна 13 – 0 = 13 тыс. руб., то оптимальным планом производства является план, согласно которому производится 11 изделий В и не производятся изделия А. При таком плане производства продукции ее стоимость максимальна и равна .

Положим теперь и построим прямую (число 44 взято произвольно) и вектор . Передвигая построенную прямую в направлении вектора , видим, что последней ее общей точкой с многоугольником решений является точка А(0; 11). Следовательно, задача, полученная из задачи (7) — (8) при , имеет оптимальный план . При таком плане производства продукции ее стоимость максимальна и равна тыс. руб.

Как видно из рис. 3, данный план производства продукции будет оставаться оптимальным для всякого значения , пока прямая не станет параллельной прямой . Это произойдет тогда, когда , т. е. при . При этом значении координаты любой точки отрезка АВ дают оптимальный план задачи (7) — (8).

Таким образом, для всякого задача (7) — (8) имеет оптимальный план , при котором значение целевой функции есть

.

Возьмем теперь какое-нибудь значение параметра , большее, чем 5,5, например , и найдем решение соответствующей задачи (7) — (8). Для этого построим прямую (число 56 взято произвольно) и вектор . Передвигая построенную прямую в направлении вектора , видим, что последней ее общей точкой с многоугольником решений является точка В(1; 10). Следовательно, задача, полученная из задачи (7) — (8) при имеет оптимальный план . При этом плане общая стоимость производимой продукции максимальна: тыс. руб.

Как видно из рис. 3, план является оптимальным планом задачи (7)—(8) для всякого до тех пор, пока прямая не станет параллельной прямой . Это произойдет тогда. когда , т. е. при . При этом значении координаты любой точки отрезка ВС дают оптимальный план задачи (7) — (8).

Таким образом, для всякого задача (7) — (8) имеет оптимальный план , при котором значение линейной функции составляет

.

Используя рис. 3 и проводя аналогичные рассуждения получим , что для всякого оптимальным планом задачи (7) — (8) является . При этом плане производства продукции ее стоимость для каждого значения параметра составляет .