Решение матричной игры размерностью 22.

Наиболее простая матричная игра — это игра, в которой каждый из игроков имеет две стратегии. Матрица А игры имеет вид

А=.

Если седловой точки нет, то решением игры являются смешанные стратегии U=(u₁, u₂), Z=(z₁,z₂).

Согласно основной теореме теории игр, применение оптимальной стратегии U=(u₁, u₂) обеспечивает для игрока А получение выигрыша v при любых стратегиях игрока В. Оптимальная стратегия для игрока В также смешанная. Поэтому, если игрок А применяет свою оптимальную стратегию, то при этом игрок В может использовать одну из чистых стратегий, величина выигрыша игрока А останется неизменной. Запишем систему уравнений

Так как u₁+u₂=1, то решение таково:

u₁=, u₂=. (4.3)

Подставляя значения u₁ и u₂ в одно из уравнений (2.1), получаем

v=. (4.4)

Составляя аналогичную систему уравнений, можно найти оптимальную стратегию для игрока В:

z₁=, z₂= (4.5)

П р и м е р 3. Найти решение игры, заданной матрицей

А=.

Р е ш е н и е. Имеем =1, =2; матрица не имеет седловой точки. По формулам (2.3 — 2.5) находим оптимальные стратегии и цену игры:

U=(1/3; 2/3), Z=(2/3; 1/3), v=5/3.

Графическое решение матричной игры.

Решение игры с матрицей (22) можно найти графически с помощью следующих построений. На оси абсцисс отложим отрезок, длина которого равна единице. Левый конец отрезка (точка u=0) соответствует стратегии А₁, правый — стратегии А₂. Промежуточные точки u соответствуют некоторым смешанным стратегиям (u₁, u₂), где u₁=1-u, u₂=u. На концах выбранного отрезка проведем прямые, перпендикулярные оси абсцисс, на них будем откладывать выигрыш при соответствующих чистых стратегиях. Если игрок В применяет стратегию В₁, то выигрыш при использовании чистых стратегий А₁ и А₂ составляет соответственно а₁₁ и а₂₁. Отложим эти точки на прямых и соединим полученные точки прямой В₁В₁. Если игрок А применяет смешанную стратегию, то его выигрышу соответствует некоторая точка М, лежащая на этой прямой (рис.4.1).

Аналогично можно построить прямую В₂В₂, соответствующую стратегии В₂ игрока В (рис. 4.2). Ломаная В₁КВ₂ — нижняя граница выигрыша, получаемого игроком А. Точка К, в которой он максимален, определяет цену игры и ее решение. Для нахождения оптимальной стратегии игрока В воспользуемся формулами

z₁=, z₂=.

В справедливости этих соотношений можно убедиться, если в формулы, выражающие z₁ и z₂ подставить вместо LB₂ и LB₁ их значения. Имеем:

LB₂=v-a₂₂; LB₁=a₂₁-v.

рис. 4.1

рис.4.2

Выражая v из (2.4) получаем значения z₁ и z₂, совпадающие с (4.6).

Можно рассмотреть задачу минимизации верхней границы выигрыша для игрока В, поменяв местами при решении игроков А и В.

Используя геометрическую интерпретацию, можно найти решение игр, заданных матрицей 2n. Каждой из n стратегий игрока В соответствует прямая. Построив эти прямые, находят нижнюю границу выигрыша. Точка К, лежащая на нижней границе, для которой величина выигрыша наибольшая, определяет цену игры и ее решение. При этом определяется активные стратегии игрока В (соответствующие им прямые пересекаются в точке К): из геометрических соображений можно найти значения z_j, соответствующие активным стратегиям игрока В.

Аналогично может быть решена игра с матрицей m2, только в этом случае строят верхнюю границу выигрыша и на ней определяют минимум.