4.3. Задачи теории статистических решений Игры с природой.

В рассмотренных выше задачах теории игр предполагалось, что в них принимают участие игроки, интересы которых противоположны. Поэтому действия каждого игрока направлены на увеличение выигрыша (уменьшение проигрыша). Однако во многих задачах, приводящих к игровым, неопределенность вызвана отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие. Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности, которую принято называть «природой». Такие игры называются играми с природой.

Человек А в играх с природой старается действовать осмотрительно, используя, например, минимаксную стратегию, позволяющую получить наименьший проигрыш. Второй игрок В (природа) действует совершенно случайно, возможные стратегии определяются как ее состояния.

В некоторых задачах для состояний природы может быть задано распределение вероятностей, в других — оно неизвестно. Условия игры задаются матрицей

А=(a_ij)=.

Элемент a_ij равен выигрышу игрока А, если он использует стратегию А_i, а состояние природы — P_j. В ряде случаев рассматривают матрицу риска R. Элементы матрицы риска r_ij представляют собой разность между выигрышем, который получил бы игрок А, если бы знал состояние P_j, и выигрышем, который он получит в тех же условиях, применяя стратегию А_i, т. е.

r_ij=_j- a_ij, где _j=.

Критерии принятия решений.

Рассмотрим ряд критериев, используемых при решении игр с природой. При известном распределении вероятностей различных состояний природы критерием принятия решения является максимум математического ожидания выигрыша (минимум математического ожидания риска).

Критерий Байеса. Если вероятности состояния природы P_j равны q_j (j=1...n), =1, то выбор i-стратегии обеспечивает математическое ожидание выигрыша, равное . Принимается решение об использовании стратегии, для которой имеет место

.

Если вопрос распределения вероятностей состояний природы не решен, то используют следующие критерии.

Максиминный критерий Вальда. Этот критерий совпадает с критерием выбора стратегии, позволяющим получить нижнюю цену игры для двух лиц с нулевой суммой. Согласно этому критерию выбирается стратегия, гарантирующая при любых условиях выигрыши, не меньше, чем

.

Критерий минимального риска Сэвиджа. Этот критерий рекомендует выбирать в качестве оптимальной ту стратегию, при которой величина риска минимизируется в наихудших условиях, т. е. обеспечивается

.

Критерии Вальда и Сэвиджа основаны на самой пессимистической оценке обстановки.

Критерий Гурвица является критерием пессимизма-оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение

, где .

При =0 имеем критерий крайнего оптимизма, а при =1 — критерий пессимизма Вальда. При желании подстраховаться в данной ситуации  принимают близким к единице.

П р и м е р 1. Найти решении статистической игры, используя несколько различных критериев.

5	2	8	4
2	3	4	12
8	5	3	10
1	4	2	8

Р е ш е н и е.

			B1	B2	B3	B4	
		A1	5	2	8	4	2
		A2	2	3	4	12	2
		A3	8	5	3	10	3
		A4	1	4	2	8	1
			8	5	8	12

Согласно критерию Вальда находим, что , поэтому решением данной матричной игры является стратегия А₃.

Воспользуемся критерием Сэвиджа. Построим матрицу рисков:

3	3	0	8	8
6	2	4	0	6
0	0	5	2	5
7	1	6	4	7

Согласно критерию Сэвиджа определяем В соответствии с этим критерием также предполагается решение А₃. Воспользуемся критерием Гурвица. Положим =0.5; тогда

т. е. следует принять решение _А2.

Если предположить известным распределение вероятностей для различных состояний природы, например считать эти состояния равновероятными (q₁=q₂=q₃=q₄=1/4), то для принятия решения следует найти математические ожидания выигрыша:

M₁=

M₂=

M₃=

M₄=

Так как максимальное значение имеет М₃, то следует выбрать решение А₃.

Таким образом, в большинстве случаев критерии указывают на стратегию А₃, поэтому разумно принять именно ее.