- •Математические методы системного анализа и теория принятия решений Методическое пособие
- •1. Теория принятия решений 4
- •2. Линейное программирование 9
- •3. Нелинейное программирование 42
- •4. Игровые методы обоснования решений 51
- •5. Задачи распознавания образов 62
- •Предисловие
- •1. Теория принятия решений
- •1.1. Задачи, связанные с принятием решений Проблема оптимальности.
- •Основные понятия и принципы исследования операций.
- •Примеры задач исследования операций.
- •1.2. Математические модели операций Искусство моделирования.
- •1.3. Разновидности задач исследования операций и подходов к их решению Прямые и обратные задачи исследования операций.
- •Пример выбора решения при определенности: линейное программирование.
- •Проблема выбора решений в условиях неопределенности.
- •Выбор решения по многим критериям.
- •«Системный подход».
- •2. Линейное программирование
- •2.1. Краткое представление о математическом программировании Предмет математического программирования.
- •Краткая классификация методов математического программирования.
- •2.2. Примеры экономических задач линейного программирования Понятие линейного программирования.
- •Задача о наилучшем использовании ресурсов.
- •Задача о выборе оптимальных технологий.
- •Задача о смесях.
- •Задача о раскрое материалов.
- •Транспортная задача.
- •2.3. Линейные векторные пространства Основные понятия линейного векторного пространства.
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •Реализация метода исключения неизвестных в среде Excel.
- •Различные схемы реализации метода Гаусса.
- •Опорные решения системы линейных уравнений.
- •2.4. Формы записи задачи линейного программирования Основные виды записи злп.
- •Каноническая форма представления задачи линейного программирования.
- •Переход к канонической форме.
- •2.5. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования Определение выпуклой области.
- •Геометрическая интерпретация.
- •2.6. Свойства решений задачи линейного программирования Свойства основной задачи линейного программирования.
- •Графический метод решения задачи линейного программирования.
- •2.7. Симплексный метод Идея симплекс-метода.
- •Теоретические обоснования симплекс-метода.
- •Переход к нехудшему опорному плану.
- •Зацикливание.
- •Алгоритм симплекс-метода.
- •2.8. Двойственность в линейном программировании Прямая и двойственная задача.
- •Связь между решениями прямой и двойственной задач.
- •Геометрическая интерпретация двойственных задач.
- •2.9. Метод искусственного базиса Идея и реализация метода искусственного базиса.
- •3. Нелинейное программирование
- •3.1. Общая задача нелинейного программирования Постановка задачи.
- •Примеры задач нелинейного программирования (экономические).
- •Геометрическая интерпретация задачи нелинейного программирования.
- •3.2. Выпуклое программирование Постановка задачи выпуклого программирования.
- •3.3. Классические методы оптимизации Метод прямого перебора.
- •Классический метод дифференциальных исчислений.
- •3.4. Метод множителей лагранжа
- •3.5. Градиентные методы решения задач нелинейного программирования Общая идея методов.
- •Метод Франка-Вулфа.
- •Метод штрафных функций.
- •4. Игровые методы обоснования решений
- •4.1. Предмет и задачи теории игр Основные понятия.
- •Классификация выборов решений.
- •Антагонистические матричные игры.
- •Чистые и смешанные стратегии и их свойства.
- •4.2. Методы решения конечных игр Упрощение матричной игры.
- •Решение матричной игры размерностью 22.
- •Графическое решение матричной игры.
- •Сведение задач теории игр к задачам линейного программирования.
- •4.3. Задачи теории статистических решений Игры с природой.
- •Критерии принятия решений.
- •5. Задачи распознавания образов
- •5.1. Общая постановка задачи распознавания образов и их классификация Проблема распознавания.
- •Обсуждение задачи опознавания.
- •Язык распознавания образов.
- •Априорные предположения — это записанные специальным образом, накопленные знания специалистов.
- •Общая постановка задачи.
- •Геометрическая интерпретация задачи распознавания.
- •Классификация задач распознавания.
- •5.2. Подготовка и анализ исходных данных Общая схема решения задачи.
- •Общая схема постановки и решения задачи Анализ данных с целью выбора постановки и метода решения
- •5.3. Методы опознавания образов Основные этапы процесса опознавания образов.
- •Методы создания системы признаков.
- •Признаковое пространство.
- •Сокращение размерности исходного описания.
- •Методы построения решающего правила.
- •5.4. Меры и метрики Понятие о сходстве.
- •Меры сходства и метрики.
- •Примеры функций мер сходства.
- •5.5. Детерминированно-статистический подход к познаванию образов Основные этапы детерминированно-статистического подхода.
- •Получение исходного описания.
- •Создание системы признаков.
- •Сокращение размерности исходного описания.
- •Нахождение решающего правила (метод эталонов).
- •Коррекция решающего правила.
- •5.6. Детерминированный метод построения решающего правила (метод эталонов) Идея метода эталонов.
- •Минимизация числа эталонов.
- •Габаритные эталоны.
- •Применение метода эталонов к частично пересекающимся образам.
- •Дополнительная минимизация числа признаков.
- •Квадратичный дискриминантный анализ.
- •Распознавание с отказами.
- •5.8. Алгоритм голотип-1 Назначение
- •Постановка задачи
- •Метод решения задачи.
- •Условия применимости.
- •Условия применимости.
- •5.10. Алгоритм направление опробования Назначение
- •Постановка задачи.
- •Метод решения задачи.
- •Условия применимости.
- •Транспортная задача Математическая постановка.
- •Постановка задачи.
- •Теоретическое введение.
- •Методы нахождения опорного плана транспортной задачи.
- •Определение оптимального плана транспортной задачи.
- •Заключение.
- •Целочисленное программирование Постановки задач, приводящие к требованию целочисленности.
- •Постановка задачи.
- •Методы отсечения.
- •Алгоритм Гомори.
- •Первый алгоритм р. Гомори решения полностью целочисленных задач.
- •Приближенные методы.
- •Заключение.
- •Параметрическое программирование Введение.
- •Формулировка задачи.
- •Теоретическая часть.
- •Общая постановка задачи.
- •Решение задачи.
- •Геометрическая интерпретация задачи.
- •Общая постановка задачи.
- •Решение задачи.
- •Геометрическая интерпретация задачи
- •Постановка задачи.
- •Решение.
- •Геометрическое решение.
- •Решение задачи симплекс-методом.
- •Результат.
- •Некооперативные игры n лиц с ненулевой суммой Введение.
- •Теоретическая часть.
- •Постановка и решение задачи.
- •Заключение.
- •Cписок литературы
Сведение задач теории игр к задачам линейного программирования.
Рассмотрим игру m×n, определяемую матрицей
А=(aij)=.
Для оптимальной стратегии первого игрока U*=(u1*, u2*, ...um*) и цены игры v выполняется неравенство (j=1...n). Предположим для определенности, что v>0. Это всегда может быть достигнуто благодаря тому, что прибавление ко всем элементам матрицы А одного и того же числа С не приводит к изменению оптимальных стратегий, а только увеличивает цену игры на С.
Разделив обе части последнего неравенства на v, получим
(j=1...n).
Положим ui*/v=yi*, тогда
(j=1...n); (i=1...m).
Используя введенное обозначение, перепишем условие
=1 в виде =1/v.
Так как первый игрок стремится получить максимальный выигрыш, то он должен обеспечить минимум величине 1/v. С учетом этого, определение оптимальной стратегии первого игрока сводится к нахождению минимального значения функции
F*=
при условиях
(j=1...n); (i=1...m).
Аналогичные рассуждения показывают, что определение оптимальной стратегии второго игрока сводится к нахождению максимального значения функции
F=
при условиях
(i=1...m); xi0 (j=1...n).
Здесь xj=zj/v.
Таким образом, чтобы найти решение данной игры, определяемой матрицей А, нужно составить пару двойственных задач и найти их решение.
Прямая задача: найти максимальное значение функции F= при условиях
(i=1...m); xi0 (j=1...n).
Двойственная задача: найти минимальное значение функции F*=при условиях
(j=1...n); yi0 (i=1...m).
Используя решение пары двойственных задач, получаем формулы для
определения стратегий и цены игры:
==v, ==v,
v==; (i=1...m; j=1...n).
Итак, процесс нахождения решения игры с использованием методов линейного программирования включает следующие этапы:
1. Составляют пару двойственных задач линейного программирования, эквивалентных матричной игре.
2. Определяют оптимальные планы пары двойственных задач.
3. Используя соотношение между планами пары двойственных задач и оптимальными стратегиями и ценой игры, находят решение игры.
П р и м е р 1. Найти решение игры, заданной матрицей
4 |
3 |
4 |
2 |
3 |
4 |
6 |
5 |
2 |
5 |
1 |
3 |
Р е ш е н и е. Запишем две системы ограничений, соответствующие задачам отыскания оптимальной стратегии игроков А и В.
Для игрока А:
Для игрока В:
Введем замены: ti=xi/v, uj=yj/v.
Для определения оптимальной стратегии игрока А имеем следующую ЗЛП: найти
min Z=t1+t2+t3
при ограничениях
Двойственная задача для определения оптимальной стратегии игрока В формулируется так: найти max W=u1+u2+u3+u4 при ограничениях
Рассмотрим решение двойственной задачи симплекс-методом.
Предварительно, с помощью неотрицательных переменных u5, u6 и u7 преобразуем неравенства в уравнения.
Первоначальный базис образуют единичные векторы А5, А6 и А7.
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
N |
Базис |
Сб |
A0 |
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A5 |
A6 |
A7 |
1 |
A5 |
0 |
1 |
4 |
3 |
4 |
2 |
1 |
0 |
0 |
2 |
A6 |
0 |
1 |
3 |
4 |
6 |
5 |
0 |
1 |
0 |
3 |
A7 |
0 |
1 |
2 |
5 |
1 |
3 |
0 |
0 |
1 |
|
Wj-Cj |
|
0 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
N |
Базис |
Сб |
A0 |
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A5 |
A6 |
A7 |
1 |
A1 |
1 |
1/4 |
1 |
3/4 |
1 |
1/2 |
1/4 |
0 |
0 |
2 |
A6 |
0 |
1/4 |
0 |
7/4 |
3 |
7/2 |
-3/4 |
1 |
0 |
3 |
A7 |
0 |
1/2 |
0 |
7/2 |
-1 |
2 |
-1/2 |
0 |
1 |
|
Wj-Cj |
|
1/4 |
0 |
-1/4 |
0 |
-1/2 |
-1/4 |
0 |
0 |
На третьей итерации получаем оптимальный план задачи.
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
N |
Базис |
Сб |
A0 |
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A5 |
A6 |
A7 |
1 |
A1 |
1 |
3/14 |
1 |
1/2 |
4/7 |
0 |
5/14 |
-1/7 |
0 |
2 |
A4 |
1 |
1/14 |
0 |
1/2 |
6/7 |
1 |
-3/14 |
2/7 |
0 |
3 |
A7 |
0 |
5/14 |
0 |
5/2 |
-19/7 |
0 |
-1/14 |
-4/7 |
1 |
|
Wj-Cj |
|
2/7 |
0 |
0 |
3/7 |
0 |
0 |
1/7 |
0 |
Он имеет вид:
U=(3/14; 0; 0; 1/14), max W=1/v=2/7, v=7/2.
Учитывая соотношения между uj и yj, получаем, используя последней итерации, находящиеся в столбцах А5, А6 и А7: t1=1/7+0=1/7, t2=1/7+0=1/7, t3=0+0=0. Таким образом, Т=(1/7; 1/7; 0), следовательно, X=(1/2; 1/2; 0).