Метод решения задачи.

Рассмотрим некоторую совокупность объектов , каждый объект описан набором свойств . Аналогично алгоритму Голотип-1 вычисляется матрица мер сходства по всему набору свойств и разобьем все объекты на компоненты связности, выбрав за порог () средн.., либо среднюю максимальную меру сходства. Эти компоненты связности по числу входящих в них объектов разобьем на две группы: малочисленные и многочисленные (малочисленными называются такие компоненты связности. число объектов в которых не превосходит некоторую величину ; в частности ). Голотипом является объект, который в среднем больше всего похож на остальные объекты данной компоненты. В каждой из малочисленных компонент определим голотип и для каждого голотипа вычислим коэффициент типичности

,

где ; — число компонент компонент связности.

Упорядочим все голотипы , по возрастанию величины и разобьем на три типа: краевые, центральные и срединные. При этом краевыми называются такие компоненты связности, голотипы которых занимают первые мест () в упорядоченной последовательности. Иначе говоря, краевыми компонентами связности являются самые удаленные компоненты, центральными компонентами связности являются компоненты, голотипы которых занимают последние мест в упорядоченной последовательности, а срединными компонентами связности являются такие компоненты, голотипы которых занимают остальные мест в упорядоченной последовательности. Идея данного алгоритма заключается в построении некоторой стратегии, позволяющей последовательно выбирать участки для опробования. При этом строятся три чистых стратегии и одна смешанная.

Первая чистая стратегия заключается в рассмотрении самых нетипичных голотипов (голотипов, отвечающих краевым компонентам связности). В первую очередь выбирается для опробования голотип с минимальным коэффициентом типичности, затем голотип, стоящий рядом с ним и т. д.

Вторая чистая стратегия заключается в рассмотрении самых типичных голотипов. В этом случае в первую очередь выбирается для опробования голотип с максимальным коэффициентом типичности, затем голотип, стоящий рядом с ним в упорядоченной последовательности и т. д.

Третья чистая стратегия заключается в рассмотрении голотипов, отвечающих срединным компонентам связности. В этом случае в первую очередь опробовается голотип, типичность которого наиболее близка к средней типичности между между голотипами. Затем голотип, стоящий по типичности рядом с ним и т. д.

Смешанная стратегия заключается в выборе голотипов для опробования следующим образом. В первую очередь выбирается самый нетипичный голотип, затем самый типичный, затем первый из срединных голотипов, затем снова нетипипичный и т. д.

Условия применимости.

ТОС должна быть без пропусков; свойства — арифметические, логические 1-го и 2-го рода.

П р и м е р. В некотором районе поиска выделены 30 участков, в которых, по предположениям геологов, может быть найдена нефть. Но количество участков, относящихся к месторождениям, значительно меньше пустых участков. Необходимо опробовать участки с целью отыскания одного или нескольких, содержащих нефть.

Р е ш е н и е. В некотором множестве выделена совокупность перспективных объектов, которые предстоит опробовать с целью отыскания объекта нужного значения. Для данной задачи априорные предположения будут иметь следующий вид:

1) , т. е. количество полезных объектов намного меньше, чем пустых;

2) , т. е. полезные объекты значительно отличаются от пустых;

3) , т. е. полезные участки схожи между собой.

Задана ТОС (табл. 14), в которой на каждом из тридцати объектов измерено по два косвенных свойства. Необходимо выделить несколько объектов таким образом, чтобы количество опробований сводилось к минимуму.

табл. 14

N				N
1	2	67.78		16	3.95	49.79
2	3.07	7.14		17	2.03	40.27
3	3.37	85.75		18	2.88	87.31
4	3.35	35.56		19	2.98	62.43
5	4.58	51.95		20	2.49	23.48
6	2	20		21	3.73	25.74
7	2.16	34.81		22	4.61	78.64
8	3.24	67.04		23	5	99
9	3.42	89.72		24	3.06	24.28
10	3.29	72.52		25	3.17	76.12
11	4.99	99		26	3.62	27.19
12	5	100		27	4.68	24.33
13	2.18	7		28	2.54	3
14	2.62	5.77		29	3.49	22.10
15	4.15	23.55		30	4.61	42.27

Вычисляются матрицы мер сходства по каждому свойству, общая матрица мер сходства, выбирается порог и строится просеянная общая матрица мер сходства. Все эти вычисления производятся по тем же формулам, что и в алгоритме Голотип-1. В нашем примере порог = 0.85.

Разбиваем объекты на однородные группы (табл.15).

табл.15

Группа 1
Группа 2
Группа 3
Группа 4
Группа 5
Группа 6

При наших априорных предположениях нам необходимо оставить малочисленные группы и во всех полученных группах найти голотипы. Малочисленными считаются группы, в которых содержится не более трех объектов. Голотипы находятся также как в алгоритме Голотип-1. У нас четыре малочисленные группы — Группа 2, Группа 4, Группа 5, Группа 6 и голотипами в этих группах соответственно являются объекты — , , , .

Находим меры сходства наших голотипов между собой (табл. 16).

табл. 16

	1	0.34	0.58	0.51
	0.34	1	0.57	0.83
	0.58	0.57	1	0.74
	0.51	0.83	0.74	1

Находим среднюю меру сходства для каждого данного объекта с другими (табл. 17) и упорядочиваем (табл. 18).

табл. 17 табл. 18

	0.6076			0.77
	0.686			0.7239
	0.7239			0.686
	0.77			0.6076

При решении данной задачи с помощью алгоритма Направление опробования мы получили, что наиболее перспективным является участок .

Геологам мы посоветуем разрабатывать четыре участка, причем в таком порядке: , , , .

5.11. АЛГОРИТМ ЭНТРОПИЯ

Назначение

— решение задач распознавания на образов, где , причем для каждого объекта формируется свое решающее правило.

Постановка задачи.

В исходных данных, представленных в виде ТОС, присутствуют представители всех образов. Для каждого объекта указана его принадлежность к образу. В процессе распознавания определяется принадлежность объектов экзамена к одному из образов.

Метод решения задачи. 

Этот метод основан на том, что для каждого объекта формируется свое решающее правило, для чего вокруг каждого объекта экзамена описывается система концентрических сфер. Далее рассматриваются только те из них, в которые попадает достаточно много объектов обучения. Для каждой из этих сфер определяется функция энтропии, характеризующая преобладание точек одного образа из образов в этой сфере. Результат определяется по той сфере, где значение функции оптимально. Точка экзамена относится к тому классу, который в этой сфере преобладает.

Рассмотрим данный алгоритм более подробно. На первом этапе необходимо вычислить матрицы мер сходства по каждому свойству, а затем и общую матрицу мер сходства . Из общей матрицы мер сходства выбирается максимальная и минимальная меры сходства. На следующем этапе введем некоторый шаг

,

где — заданное нами постоянное число сфер.

Вычисляется мера сходства для каждого объекта экзамена с каждым объектом МО . Затем выбираем все объекты, для которых мера сходства с объектами МО удовлетворяют условию

, 0,1...

В результате получаем набор вложенных сфер (концентрических). Для каждой из этих сфер мы вычисляем энтропию

,

где — число объектов -го образа, попавших в -ую сферу;

— число объектов, попавших в -ую сферу.

Из всех полученных энтропий выбираем минимальную . Затем находим номер сферы с минимальной энтропией . Эта сфера, в которой объектов одного образа намного больше объектов другого образа, т. е. .

Последним этапом решения является распознавание. Распознавание производится при помощи правила Байеса. Объект будет отнесен к -му образу, если

,

где — число объектов -го образа в -ой сфере,

— общее число объектов -го образа,

— число объектов -го образа в -ой сфере,

— общее число объектов -го образа.

Иначе, если

,

то объект будет отнесен к -му образу.

П р и м е р. Задана ТОС (табл. 19), в которой имеются объекты, на которых измерены прямые и косвенные свойства (МО) и объекты, на которых измерены только косвенные свойства (МЭ). Часть объектов МО относятся к 1-му образу, часть ко 1-му образу. Необходимо объекты МЭ расклассифицировать по образам.

Р е ш е н и е

табл. 19

	Материал обучения					Материал экзамена
N			Образ		N			Образ
1	285	68.8	1		11	150	87.2	0
2	243	58.5	1		12	290	87	0
3	202	51.2	1		13	110	44	0
4	132	80	1
5	146	69.3	1
6	245	62	2
7	235	87.2	2
8	164	68	2
9	136	64.3	2
10	225	44	2

1. Находим экстремальные разности

Для свойства : 153.1; Для свойства : 43.2.

2. Находим матрицы мер сходства по каждому свойству, а затем вычисляем общую матрицу мер сходства (табл. 20).

табл. 20

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	0.74	0.53	0.37	0.54	0.79	0.62	0.6	0.46	0.52
2	0.74	1	0.78	0.39	0.56	0.95	0.64	0.63	0.58	0.77
3	0.53	0.78	1	0.44	0.61	0.73	0.48	0.68	0.63	0.84
4	0.37	0.39	0.44	1	0.83	0.42	0.58	0.76	0.8	0.28
5	0.54	0.56	0.61	0.83	1	0.59	0.50	0.92	0.91	0.45
6	0.79	0.95	0.73	0.42	0.59	1	0.68	0.67	0.62	0.73
7	0.62	0.64	0.48	0.58	0.50	0.68	1	0.55	0.41	0.47
8	0.6	0.63	0.68	0.76	0.92	0.67	0.55	1	0.86	0.52
9	0.46	0.58	0.63	0.80	0.91	0.62	0.41	0.86	1	0.47
10	0.52	0.77	0.84	0.28	0.45	0.73	0.47	0.52	0.47	1

3. Выбираем максимальную и минимальную меры сходства:

Максимальная 0.95,

Минимальная 0.28.

Постоянную задаем равную 3 и вычисляем шаг: =0.24.

4. Вычисляем для каждого объекта экзамена энтропию, отыскиваем минимальную энтропию и производим распознавание:

Для 1-го объекта МЭ:

	1
1	0.35			1
2	0.37			1
3	0.41		1	1
4	0.86	1	1	1
5	0.78	1	1	1
6	0.4		1	1
7	0.72	1	1	1
8	0.73	1	1	1
9	0.69	1	1	1
10	0.26			1
	Энтропия	0.292	0.297	0.301

, , значит, объект 1 принадлежит ко второму образу.

Для 2-го объекта МЭ:

	2
1	0.7707	1	1	1
2	0.513		1	1
3	0.2959			1
4	0.4003		1	1
5	0.3216			1
6	0.5614		1	1
7	0.8204	1	1	1
8	0.3673			1
9	0.232			1
10	0.2877			1
	Энтропия	0.301	0.292	0.301

, , значит, объект 2 принадлежит к первому образу.

Для 1-го объекта МЭ:

	3
1	0.1414			1
2	0.3991		1	1
3	0.6162		1	1
4	0.5118		1	1
5	0.5906		1	1
6	0.3508			1
7	0.0918
8	0.5449		1	1
9	0.6801	1	1	1
10	0.6244		1	1
	Энтропия	0	0.297	0.298

, , значит, объект 3 относится ко второму образу.

В результате решения данной задачи при помощи алгоритма Энтропия получили следующие результаты:

	N			Образ
	11	150	87.2	2
	12	290	87	1
	13	110	44	2

П р и л о ж е н и е 1

( Из курсового проекта студенток 216 группы Прохоровой Ю.В. и Охотниковой Л.Н.)