Основные теоремы дифференциального исчисления

Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение.

Теорема 2 (Ролля). Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале (а, b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, т.е. .

Теорема 3 (Лагранжа). Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале (а, b), то найдется хотя бы одна точка , в которой выполняется равенство

Теорема 4 (Коши). Если функции и непре­рывны на отрезке , дифференцируемы на интервале (а, b), причем для , то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство

.

Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида и .

Теорема 5 (правило Лопиталя – Бернулли). Если функции и удовлетворяют следующим условиям:

1) определены и дифференцируемы на интервале (а, b), за исключением, быть может, точки , причем и ;

2) ;

3) существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных

;

тогда существует также предел отношения функций , причем

Правило Лопиталя справедливо и в случае .

Замечание. Если отношение в свою очередь представляет собой неопределенность вида или , и производные и удовлетворяют условиям теоремы, то правило Лопиталя можно применить второй раз, т. е.

Правило Лопиталя можно применять до тех пор, пока не будет получена дробь, для которой условия, предусмотренные теоремой, уже не выполняются.

Формула Тейлора

Пусть функция f имеет в некоторой окрестности точки производные до n-го порядка включительно. Тогда для любой точки х из этой окрестности имеет место равенство:

где называется остаточным членом. В курсе математического анализа доказывается, что . Такой остаточный член называется остаточным членом в форме Пеано. Тогда последнее равенство можно переписать в виде:

(11)

Полученная формула разложения функции по степеням с остаточным членом в форме Пеано называется формулой Тейлора.

В частности, при формула (11) примет вид:

(12)

Формула разложения функции по степеням x с остаточным членом в форме Пеано называется формулой Маклорена.

Таким образом, поведение любой n раз дифференцируемой функции в окрестности точки (в частности, ) можно описать многочленом достаточно точно, а при со сколь угодно высокой степенью точности.

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

Запишем разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций:

Замечание. Если в разложении функции положить , где , то все члены этой формулы, начиная с (n+1)-го, исчезают, и формула Маклорена превращается в формулу бинома Ньютона

Исследование функций с помощью производных Условия возрастания и убывания функции

Теорема 6 (об условии возрастания (убывания) монотонной функции). Если функция y = f(x) дифференцируема на некотором интервале (а, b) и () для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале (а, b).

Доказательство. Возьмем точки из интервала (а, b), причем . Для функции y = f(x) выполняются условия теоремы Лагранжа на отрезке , поэтому существует точка , в которой

Проанализируем полученное равенство: если , то из неравенства следует неравенство , т. е. функция y = f(x) на интервале (а, b) возрастает. Обратно: если , то из неравенства следует неравенство , т. е. функция y = f(x) на интервале (а, b) убывает.