- •GfВведение в математический анализ План
- •Множества
- •Операции над множествами
- •Понятие функции, ее области определения и множества значений. Способы задания функции
- •Основные свойства функции
- •Понятие обратной функции
- •Понятие сложной функции
- •Применение функций в экономике
- •Числовые последовательности
- •Предел последовательности
- •Число е, применение в экономике
- •Предел функции
- •Замечательные пределы
- •Бесконечно малые, бесконечно большие функции
- •Классификация бесконечно малых
- •Односторонние пределы функции
- •Непрерывность функции, классификация точек разрыва
- •Основы дифференциального исчисления функции одной переменной План
- •Определение производной
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Правила дифференцирования функций
- •Дифференцирование сложной, обратной функций
- •Производная неявной и параметрически заданной функций
- •Определение и геометрический смысл дифференциала
- •Производные высших порядков явно заданной функции
- •Производные высших порядков неявно заданной функции
- •Производные высших порядков параметрически заданной функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •Исследование функций с помощью производных Условия возрастания и убывания функции
- •Понятие экстремума
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Применение производных в экономике
- •Функция нескольких переменных План
- •Определение функции нескольких переменных. Область определения
- •Линии уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •Частные производные первого и высших порядков
- •Полный дифференциал и его применение при приближенных вычислениях
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная по направлению, градиент функции
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области
- •Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- •Метод наименьших квадратов
- •Основы интегрального исчисления План
- •Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования
- •Рациональные дроби
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрический функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •Определенный интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Основные методы вычисления определенного интеграла
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Некоторые приложения определенного интеграла в экономике
- •Несобственные интегралы
- •Дифференциальные уравнения План
- •Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные уравнения. Уравнения я. Бернулли
- •Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия)
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения второго порядка
- •Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики
- •Числовые и функциональные ряды План
- •Основные понятия. Сходимость ряда
- •Необходимый признак сходимости
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Знакопеременные ряды. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Функциональные ряды. Степенные ряды. Сходимость степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
Экстремум функции нескольких переменных
Определение 14. Точка называется точкой максимума (минимума) функции z = f(x; y), если существует окрестность точки , такая, что для всех точек (x; y) из этой окрестности, выполняется неравенство
В определении речь идет о локальном экстремуме (максимуме и минимуме) функции, так как речь идет о максимальном и минимальном значении лишь в достаточно малой окрестности точки .
Теорема 4 (необходимое условие экстремума). Пусть точка – точка экстремума дифференцируемой функции z = f(x; y). Тогда частные производные функции в этой точке равны нулю, т. е.
Замечание. Функция может иметь экстремум и в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует.
Определение 15. Точка, в которой частные производные первого порядка функции z = f(x; y) равны нулю, т. е. называется стационарной точкой функции.
Определение 16. Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.
Теорема 5 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке и некоторой ее окрестности функция z = f(x; y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке значения . Обозначим:
Тогда:
1) если , то функция z = f(x; y) имеет в точке экстремум: максимум, если A<0 и минимум, если A>0.
2) если , то функция z = f(x; y) в точке экстремума не имеет;
3) если , экстремум в точке может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.
Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области
Функция, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области D, достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке или в точке границы области. Таким образом, для нахождения экстремума функции в замкнутой области сначала находят все стационарные точки функции внутри области D, а затем наибольшее и наименьшее значения на ее границе. Сравнивая полученные величины, находим наименьшее и наибольшее значения функции в области D.
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
Если ищется экстремум функции z = f(x; y), при условии, что ее аргументы связаны между собой уравнением (уравнением связи), то говорят об условном экстремуме. Для отыскания условного экстремума воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа.
Чтобы найти условный экстремум функции z = f(x; y) при наличии уравнения связи , составим функцию Лагранжа
где – неопределенный постоянный множитель, и найдем обычный экстремум этой вспомогательной функции.
Необходимые условия экстремума функции сводятся к системе трех уравнений
с тремя неизвестными , из которой можно найти эти неизвестные. Таким образом, решения системы есть стационарные точки функции Лагранжа.
Затем вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала
в стационарной точке функции Лагранжа, при условии, что и связаны соотношением
Функция z = f(x; y) имеет условный максимум, если и условной минимум, если . В частности, если дискриминант для функции в стационарной точке положителен, то в этой точке имеется условный максимум функции f(x; y), если А<0, и условный минимум, если А>0.
Задача нахождения условного экстремума используется при решении таких экономических задач, как нахождение оптимального распределения ресурсов, выбор оптимального портфеля ценных бумаг и др.