- •GfВведение в математический анализ План
- •Множества
- •Операции над множествами
- •Понятие функции, ее области определения и множества значений. Способы задания функции
- •Основные свойства функции
- •Понятие обратной функции
- •Понятие сложной функции
- •Применение функций в экономике
- •Числовые последовательности
- •Предел последовательности
- •Число е, применение в экономике
- •Предел функции
- •Замечательные пределы
- •Бесконечно малые, бесконечно большие функции
- •Классификация бесконечно малых
- •Односторонние пределы функции
- •Непрерывность функции, классификация точек разрыва
- •Основы дифференциального исчисления функции одной переменной План
- •Определение производной
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Правила дифференцирования функций
- •Дифференцирование сложной, обратной функций
- •Производная неявной и параметрически заданной функций
- •Определение и геометрический смысл дифференциала
- •Производные высших порядков явно заданной функции
- •Производные высших порядков неявно заданной функции
- •Производные высших порядков параметрически заданной функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •Исследование функций с помощью производных Условия возрастания и убывания функции
- •Понятие экстремума
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Применение производных в экономике
- •Функция нескольких переменных План
- •Определение функции нескольких переменных. Область определения
- •Линии уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •Частные производные первого и высших порядков
- •Полный дифференциал и его применение при приближенных вычислениях
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная по направлению, градиент функции
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области
- •Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- •Метод наименьших квадратов
- •Основы интегрального исчисления План
- •Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования
- •Рациональные дроби
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрический функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •Определенный интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Основные методы вычисления определенного интеграла
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Некоторые приложения определенного интеграла в экономике
- •Несобственные интегралы
- •Дифференциальные уравнения План
- •Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные уравнения. Уравнения я. Бернулли
- •Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия)
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения второго порядка
- •Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики
- •Числовые и функциональные ряды План
- •Основные понятия. Сходимость ряда
- •Необходимый признак сходимости
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Знакопеременные ряды. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Функциональные ряды. Степенные ряды. Сходимость степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики
Дифференциальные уравнения находят достаточно широкое применение в моделях экономической динамики, в которых отражается не только зависимость переменных от времени, но и их взаимосвязь во времени.
Рассмотрим некоторые простейшие задачи макроэкономической динамики.
Задача 1. Пусть y=y(t) – объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t. Предположим, что цена на данный товар остается постоянной (в пределах рассматриваемого промежутка времени). Тогда функция y=y(t) удовлетворяет уравнению
, (20)
где , m – норма инвестиций, p – продажная цена, l – коэффициент пропорциональности между величиной инвестиций и скоростью выпуска продукции.
Уравнение (20) является уравнением с разделяющимися переменными. Его решение имеет вид
,
где .
Предположение о неизменности цены (о ненасыщаемости рынка) на практике оказывается справедливым лишь для узких временных интервалов.
В общем случае цена р является убывающей функцией от объема у реализованной продукции . Тогда уравнение (20) принимает вид
. (21)
Это уравнение является тоже уравнением с разделяющимися переменными.
Замечнание. Уравнение (20) описывает также рост народонаселения, динамику роста цен при постоянной инфляции, процесс радиоктивного распада и др. Уравнение вида (21) описывает рост народонаселения при наличии (естественных) ограничений для этого роста, динамику развития эпидемий, процесс распространения рекламы и т. д.
Задача 2. Доход Y(t), полученный к моменту времени t некоторой отраслью, является суммой инвестиций I(t) и величины потребления С(t), т. е.
. (22)
Будем предполагать, что скорость увеличения дохода пропорциональна величине инвестиций, т. е.
, (23)
где b – коэффициент капиталоемкости прироста дохода.
Рассмотрим поведение функции дохода Y(t) в зависимости от функции С(t).
Пусть С(t) представляет фиксированную часть получаемого дохода: , где m – норма инвестиций. Тогда из уравнений (22) и (23) получаем
,
Что равносильно уравнению (20) при p=const.
В ряде случаев вид функции потребления С(t) бывает известен (из некоторых дополнительных соображений).
Числовые и функциональные ряды План
Числовые ряды, основные понятия. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Функциональные ряды, основные понятия. Степенные ряды и методы нахождения области сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена.
Основные понятия. Сходимость ряда
Определение 1. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел соединенных знаком сложения:
(1)
Числа называются членами ряда, а член – общим или n-м членом ряда.
Ряд (1) считается заданным, если известен его общий член , т.е. задана функция f(n) натурального аргумента.
Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда:
Сумма n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда.
Определение 2. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т. е.
(2)
Число S называется суммой ряда.
Если же не существует или , то числовой ряд называется расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.
Свойства рядов
1. Если ряд сходится и имеет сумму S, то и ряд (полученный умножением каждого его члена на число ) также сходится и имеет сумму .
2. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и , то и ряд (представляющий сумму данных рядов) также сходится, и его сумма равна .
3. Если ряд сходится (расходится), то сходится (расходится) и ряд, полученный из данного путем отбрасывания любого конечного числа его членов.
Определение 3. Ряд
, (3)
полученный из ряда (1) отбрасыванием его первых n членов, называется n-м остатком ряда.
Ряд (1) получается из остатка (3) добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству (3), ряд (1) и его остаток (3) сходятся и расходятся одновременно.
Из свойства (3) также следует, что если ряд (1) сходится, то его остаток стремится к нулю при , т. е. .