Общие сведения о дифференциальных уравнениях

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию и ее производные .

Символически дифференциальное уравнение можно записать так:

или

Если искомая функция есть функция одного независимого переменного, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. В дальнейшем будут рассматриваться только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Определение 3. Решением или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция , которая при подстановке ее в уравнение обращает его в тождество.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

(1)

Если это уравнение можно разрешить относительно , то его записывают в виде

и называют дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно также записать в дифференциальной форме:

, (2)

где – известные функции. Уравнение (2) удобно тем, что переменные x и y в нем равноправны, т. е. любую из них можно рассматривать как функцию другой.

Отметим, что от одного вида записи дифференциального уравнения всегда можно перейти к другому.

Для уравнения вида справедлива теорема, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения.

Теорема 1 (теорема Коши). Если в уравнении

функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D на плоскости Oxy, содержащей некоторую точку , то существует единственное решение этого уравнения

,

удовлетворяющее условию: при

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что существует и при том единственная функция , график которой проходит через точку .

Из теоремы (1) следует, что уравнений имеет бесконечное число различных решений (например, решение, график которого проходит через точку ; другое решение, график которого проходит через точку и т. д., если только эти точки лежат в области D).

Условие, что при функция y должна равняться заданному числу , называется начальным условием. Оно часто записывается в виде

Задача отыскания решения по заданным начальным условиям называется задачей Коши.

Определение 4. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция

,

которая зависит от одного произвольного постоянного C и удовлетворяет следующим условиям:

1) она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении постоянного С;

2) каково бы ни было начальное условие при , т. е. , можно найти такое значение , что функция удовлетворяет данному начальному условию. При этом предполагается, что и принадлежат к той области изменения переменных x и у, в которой выполняются условия теоремы существования и единственности решения.

Если общее решение дифференциального уравнения первого порядка найденно в неявном виде, т. е. виде , то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение 5. Частным решением называется любая функция , которая получается из общего решения , если в последнем произвольной постоянной С придать определенное значение . Соотношение называется в этом случае частным интегралом уравнения.

С геометрической точки зрения общий интеграл представляет собой семейство интегральных кривых на координатной плоскости. Частному интегралу соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через некоторую заданную точку плоскости.

Геометрический смысл уравнения первого порядка. Уравнение устанавливает связь (зависимость) между координиами точки (x, y) и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, дифференциальное уравнение дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Oxy.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, т. е. , называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уранение изоклины, соответствующей значению С, будет