- •GfВведение в математический анализ План
- •Множества
- •Операции над множествами
- •Понятие функции, ее области определения и множества значений. Способы задания функции
- •Основные свойства функции
- •Понятие обратной функции
- •Понятие сложной функции
- •Применение функций в экономике
- •Числовые последовательности
- •Предел последовательности
- •Число е, применение в экономике
- •Предел функции
- •Замечательные пределы
- •Бесконечно малые, бесконечно большие функции
- •Классификация бесконечно малых
- •Односторонние пределы функции
- •Непрерывность функции, классификация точек разрыва
- •Основы дифференциального исчисления функции одной переменной План
- •Определение производной
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Правила дифференцирования функций
- •Дифференцирование сложной, обратной функций
- •Производная неявной и параметрически заданной функций
- •Определение и геометрический смысл дифференциала
- •Производные высших порядков явно заданной функции
- •Производные высших порядков неявно заданной функции
- •Производные высших порядков параметрически заданной функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •Исследование функций с помощью производных Условия возрастания и убывания функции
- •Понятие экстремума
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Применение производных в экономике
- •Функция нескольких переменных План
- •Определение функции нескольких переменных. Область определения
- •Линии уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •Частные производные первого и высших порядков
- •Полный дифференциал и его применение при приближенных вычислениях
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная по направлению, градиент функции
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области
- •Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- •Метод наименьших квадратов
- •Основы интегрального исчисления План
- •Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования
- •Рациональные дроби
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрический функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •Определенный интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Основные методы вычисления определенного интеграла
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Некоторые приложения определенного интеграла в экономике
- •Несобственные интегралы
- •Дифференциальные уравнения План
- •Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные уравнения. Уравнения я. Бернулли
- •Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия)
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения второго порядка
- •Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики
- •Числовые и функциональные ряды План
- •Основные понятия. Сходимость ряда
- •Необходимый признак сходимости
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Знакопеременные ряды. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Функциональные ряды. Степенные ряды. Сходимость степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
Понятие экстремума
Определение 5. Точка называется точкой максимума (минимума) функции y = f(x), если существует такая окрестность точки , что для всех x () из этой окрестности выполняется неравенство .
Значение функции в точке максимума (минимума) функции называется максимумом (минимумом) данной функции.
Максимум (минимум) функции называется экстремумом этой функции, а точки максимума и минимума – точками экстремума.
Теорема 7 (необходимое условие экстремума). Если функция y = f(x) непрерывна в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.
Точки, в которых производная функции y = f(x) обращается в нуль или не существует, называются критическими точками или точками возможного экстремума. Точки, в которых производная функции y = f(x) обращается в нуль, называются стационарными.
Теорема 8 (достаточное условие экстремума). Пусть – критическая точка непрерывной функции y = f(x). Если при переходе через точку меняет свой знак с «+» на «–», то – точка максимума; если при переходе через точку меняет свой знак с «–» на «+», то – точка минимума.
Замечание. Экстремум функции называется также локальным экстремумом, в отличие от глобального экстремума – наибольшего (наименьшего) значения, которое функция может принимать в области ее определения. Чтобы найти глобальный экстремум функции y = f(x), заданный на отрезке [a; b], нужно сравнить значения f(a), f(b) с ее значениями в точках возможного экстремума на [a; b] и выбрать наибольшее (наименьшее) из них.
Выпуклость графика функции. Точки перегиба
Определение 6. График дифференцируемой функции y = f(x) называется выпуклым вниз (выпуклым вверх) на интервале (а, b), если он целиком расположен выше (ниже) касательной, проведенной в любой точке этого интервала.
Определение 7. Точка графика дифференцируемой функции y = f(x), в которой направление выпуклости меняется на противоположное, называется точкой перегиба.
Интервалы выпуклости вниз и вверх находятся с помощью следующей теоремы.
Теорема 9. Если функция y = f(x) во всех точках интервала (а, b) имеет отрицательную вторую производную, т.е. , то график функции на этом интервале выпуклый вверх. Если же , то график функции выпуклый вниз.
Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая
Теорема 10 (достаточное условие существования точек перегиба). Если для функции y = f(x) вторая производная в некоторой точке равна нулю или не существует и при переходе через нее меняет свой знак, то точка является точкой перегиба графика функции.
Асимптоты графика функции
Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.
Асимптоты могут быть вертикальными и наклонными (горизонтальными).
Определение 8. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов в точке равен бесконечности, т.е. или .
Очевидно, что непрерывные на R функции вертикальных асимптот не имеют; такие асимптоты существуют только в точках разрыва второго рода функции y = f(x).
Определение 9. Прямая y=kx+b называется наклонной (если k=0 – горизонтальной) асимптотой графика функции y = f(x) при (), если функцию f(x) можно представить в виде , где .
Теорема 11. Для того чтобы график функции y = f(x) имел наклонную асимптоту y=kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы:
. (13)
Замечание. При нахождении наклонных асимптот графика функции возможны следующие случаи: 1) оба предела (13) существуют и не зависят от знака бесконечности, тогда прямая y=kx+b называется двусторонней асимптотой; 2) оба предела (13) существуют, но при и при они различны, тогда имеем две односторонние наклонные асимптоты; 3) если хотя бы один из пределов (13) не существует, то наклонных асимптот нет.