- •GfВведение в математический анализ План
- •Множества
- •Операции над множествами
- •Понятие функции, ее области определения и множества значений. Способы задания функции
- •Основные свойства функции
- •Понятие обратной функции
- •Понятие сложной функции
- •Применение функций в экономике
- •Числовые последовательности
- •Предел последовательности
- •Число е, применение в экономике
- •Предел функции
- •Замечательные пределы
- •Бесконечно малые, бесконечно большие функции
- •Классификация бесконечно малых
- •Односторонние пределы функции
- •Непрерывность функции, классификация точек разрыва
- •Основы дифференциального исчисления функции одной переменной План
- •Определение производной
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Правила дифференцирования функций
- •Дифференцирование сложной, обратной функций
- •Производная неявной и параметрически заданной функций
- •Определение и геометрический смысл дифференциала
- •Производные высших порядков явно заданной функции
- •Производные высших порядков неявно заданной функции
- •Производные высших порядков параметрически заданной функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •Исследование функций с помощью производных Условия возрастания и убывания функции
- •Понятие экстремума
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Применение производных в экономике
- •Функция нескольких переменных План
- •Определение функции нескольких переменных. Область определения
- •Линии уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •Частные производные первого и высших порядков
- •Полный дифференциал и его применение при приближенных вычислениях
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная по направлению, градиент функции
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области
- •Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- •Метод наименьших квадратов
- •Основы интегрального исчисления План
- •Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования
- •Рациональные дроби
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрический функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •Определенный интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Основные методы вычисления определенного интеграла
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Некоторые приложения определенного интеграла в экономике
- •Несобственные интегралы
- •Дифференциальные уравнения План
- •Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные уравнения. Уравнения я. Бернулли
- •Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия)
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения второго порядка
- •Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики
- •Числовые и функциональные ряды План
- •Основные понятия. Сходимость ряда
- •Необходимый признак сходимости
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Знакопеременные ряды. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Функциональные ряды. Степенные ряды. Сходимость степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
Замечательные пределы
1. Первый замечательный предел:
Следствия.
1. Второй замечательный предел:
или
.
Следствия.
В частности, при a=e имеем
В частности, при a=e имеем
Бесконечно малые, бесконечно большие функции
Определение 20. Функция y=f(x) называется бесконечно малой (бесконечно большой) функцией при , если ().
Аналогично определяются бесконечно малые (бесконечно большие) функции при .
Если f(x) стремится к бесконечности при и принимает лишь положительные значения, то пишут , если лишь отрицательные значения – .
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают буквами греческого алфавита .
Теорема 4. Предел функции y=f(x) существует при и равен числу A тогда и только тогда, когда , где – бесконечно малая при.
Теорема 5. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при , а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную при есть величина бесконечно малая.
Теорема 6. Если функция y=f(x) при – бесконечно большая, то функция при – бесконечно малая и наоборот.
Классификация бесконечно малых
Определение 21. Пусть и – бесконечно малые функции при, т. е. , .
1) Если , то функция называется бесконечно малой более высокого порядка, чем при.
Записывается это так: при.
2) Если то функции и называются бесконечно малыми одного порядка малости при.
В частности, если , то функции и называются эквивалентными бесконечно малыми при.
Обознается это так: ~.
3) Если не существует, то и называются несравнимыми бесконечно малыми.
При следующие функции эквивалентны:
~ x, ~ x, ~ x, ~ x, ~ , ~ x, ~, ~ x, ~. |
Теорема 7. Предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения эквивалентных им функций, т.е. если при ~, ~, то
Односторонние пределы функции
Определение 22. Число называется пределом функции y=f(x) слева в точке ,
если для любого сколь угодно малого положительного числа можно указать число такое, что для всех , выполняется неравенство .
Обозначается: или коротко:.
Таким образом, .
Аналогично определяется предел функции y=f(x) справа в точке :
.
Коротко предел функции справа обозначается: .
В случае вместо () пишут ().
Пределы функции слева и справа называются односторонними в отличие от предела функции, рассматриваемого ранее, он назывался двусторонним.
Связь между односторонними и двусторонним пределами устанавливается следующей теоремой.
Теорема 8. Функция y=f(x) имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы как слева, так и справа и они равны. В этом случае их общее значение и является пределом функции f(x) в точке :
Если же , то не существует.