- •GfВведение в математический анализ План
- •Множества
- •Операции над множествами
- •Понятие функции, ее области определения и множества значений. Способы задания функции
- •Основные свойства функции
- •Понятие обратной функции
- •Понятие сложной функции
- •Применение функций в экономике
- •Числовые последовательности
- •Предел последовательности
- •Число е, применение в экономике
- •Предел функции
- •Замечательные пределы
- •Бесконечно малые, бесконечно большие функции
- •Классификация бесконечно малых
- •Односторонние пределы функции
- •Непрерывность функции, классификация точек разрыва
- •Основы дифференциального исчисления функции одной переменной План
- •Определение производной
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Правила дифференцирования функций
- •Дифференцирование сложной, обратной функций
- •Производная неявной и параметрически заданной функций
- •Определение и геометрический смысл дифференциала
- •Производные высших порядков явно заданной функции
- •Производные высших порядков неявно заданной функции
- •Производные высших порядков параметрически заданной функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •Исследование функций с помощью производных Условия возрастания и убывания функции
- •Понятие экстремума
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Применение производных в экономике
- •Функция нескольких переменных План
- •Определение функции нескольких переменных. Область определения
- •Линии уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •Частные производные первого и высших порядков
- •Полный дифференциал и его применение при приближенных вычислениях
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная по направлению, градиент функции
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области
- •Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- •Метод наименьших квадратов
- •Основы интегрального исчисления План
- •Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования
- •Рациональные дроби
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрический функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •Определенный интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Основные методы вычисления определенного интеграла
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Некоторые приложения определенного интеграла в экономике
- •Несобственные интегралы
- •Дифференциальные уравнения План
- •Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные уравнения. Уравнения я. Бернулли
- •Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия)
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения второго порядка
- •Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики
- •Числовые и функциональные ряды План
- •Основные понятия. Сходимость ряда
- •Необходимый признак сходимости
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Знакопеременные ряды. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Функциональные ряды. Степенные ряды. Сходимость степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
Определение производной
Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки . Если фиксированное значение аргумента получает приращение (положительное или отрицательное, и также принадлежит окрестности точки ), то приращение функции определяется выражением
Определение 1. Производной функции у = f(x) в произвольной фиксированной точке называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Производная функции у = f(x) в точке обозначается:
Таким образом,
(1)
Производная функции у = f(x) в произвольной точке x обозначается:
При каждом конкретном числовом значении x производная функции у = f(x) (если она существует при данном x) есть некоторое число. Значениям переменной x ставятся в соответствие определенные значения переменной . Следовательно, производная данной функции есть некоторая функция аргумента x.
Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Геометрический и физический смысл производной
Геометрический смысл производной. Производная от функции у = f(x) при равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой , т. е.
(2)
где угол между касательной к графику функции у = f(x) в точке и положительным направлением оси Ох.
Физический смысл производной. Для функции у = f(x), определенной и непрерывной в точке , отношение есть средняя скорость изменения функции за промежуток , а есть мгновенная скорость ее изменения в точке .
Таким образом, производная от функции у = f(x) – математическая модель мгновенной скорости процесса, описываемого данной функцией. В зависимости от содержания можно получить различные математические модели скорости протекания физических, химических и других процессов.
Например, пусть материальная точка М движется неравномерно и у = s(t) – функция, устанавливающая зависимость пути от времени t. Тогда мгновенная скорость v движения в момент времени есть производная от пути s по времени t:
Рассмотрим еще один пример. Пусть u=u(t) функция, которая выражает количество произведенной продукции u за время t. Отношение есть средняя производительность труда за период времени . Тогда производительность труда z в момент времени есть производная объема произведенной продукции u по времени t:
Последний пример иллюстрирует экономический смысл производной.
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Теорема 1 (о непрерывности функции в точке). Если функция у = f(x) имеет конечную производную в точке , то она непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение не всегда верно: если функция у = f(x) непрерывна в некоторой точке , она может и не иметь производной в этой точке.
Например, функция определена и непрерывна во всех точках x числовой оси R, однако в точке не имеет производной.
Замечание. Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна.