Интегрирование тригонометрический функций

I. Интегралы типа. Универсальная подстановка.

Функцию с переменными и , над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение и деление) принято обозначать , где R – знак рациональной функции.

Вычисление интегралов типа сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой , которая называется универсальной.

Действительно,

Поэтому,

II. Интегралы типа .

Для нахождения таких интегралов используют следующие приемы:

1. Подстановка , если n – целое положительное нечетное число;

2. Подстановка , если m – целое положительное нечетное число;

3. Формулы понижения порядка: , если m и n – целые неотрицательные четные числа;

4. Подстановка , если m+ n – есть четное отрицательное целое число.

III. Интегралы типа

Они вычисляются путем разложения подынтегральной функции на слагаемые по формулам:

Интегрирование некоторых иррациональных функций

I. Интегралы вида , где – целые числа, сводится к интегралу от рациональной функции переменной t подстановкой , где s – общий знаменатель дробей .

II. Интегралы вида , где – целые числа, сводится к интегралу от рациональной функции переменной t подстановкой

где s – общий знаменатель дробей .

III. Интегралы вида путем выделения полного квадрата под знаком радикала:

и применения подстановки

cводится к табличному:

Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

Как известно всякая непрерывная функция имеет первообразную. В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функции f(x) является также элементарной функцией, говорят, что интеграл «берется», т. е. интеграл выражается через элементарные функции (или интеграл вычисляется). Если же интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что интеграл «не берется» (или его нельзя найти).

Приведем примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции:

– интеграл Пуассона;

– интегральный синус;

– интегральный косинус;

– интегральный логарифм;

– интегралы Френеля

и другие.

Определенный интеграл

К понятию определенного интеграла приводит задача отыскания площади криволинейной трапеции. Фигуру, ограниченную графиком положительно определенной функции y=f(x), вертикальными прямыми x=a, x=b и осью Ox назовем криволинейной трапецией.

Для нахождения площади криволинейной трапеции отрезок [a, b] разобьем на n частей точками

На каждом частичном отрезке произвольным образом выберем точку z_к и построим прямоугольник с основанием и высотой . Площадь этого прямоугольника будет равна . Таких прямоугольников, покрывающих площадь криволинейной трапеции, будет n штук. В результате такого построения получим «ступенчатую» фигуру, площадь которой будет равна

Величина

называется интегральной суммой функции на отрезке [a, b] .

Будем теперь увеличивать число n делений отрезка [a, b]. Тогда «ступенчатая» фигура будет все меньше отклоняться от криволинейной трапеции. Обозначим за длину наибольшего из частичных отрезков, т. е. . При число частичных отрезков будет неограниченно увеличиваться, а их длины будут стремиться к нулю.

Пусть предел интегральной суммы при существует, конечен и не зависит ни от способа разбиения отрезка [a, b], ни от выбора точек z_к, тогда он принимается за площадь криволинейной трапеции и называется определенным интегралом, т.е.

(5)

Если указанный предел существует и конечен, то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, x – называется переменной интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением.

Замечание. Непрерывность функции на отрезке [a, b] является достаточным условием ее интегрирования. Однако требования к функции можно ослабить. Если функция ограничена на отрезке [a, b] и имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема. В дальнейшем будем считать подынтегральную функцию непрерывной.