- •GfВведение в математический анализ План
- •Множества
- •Операции над множествами
- •Понятие функции, ее области определения и множества значений. Способы задания функции
- •Основные свойства функции
- •Понятие обратной функции
- •Понятие сложной функции
- •Применение функций в экономике
- •Числовые последовательности
- •Предел последовательности
- •Число е, применение в экономике
- •Предел функции
- •Замечательные пределы
- •Бесконечно малые, бесконечно большие функции
- •Классификация бесконечно малых
- •Односторонние пределы функции
- •Непрерывность функции, классификация точек разрыва
- •Основы дифференциального исчисления функции одной переменной План
- •Определение производной
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Правила дифференцирования функций
- •Дифференцирование сложной, обратной функций
- •Производная неявной и параметрически заданной функций
- •Определение и геометрический смысл дифференциала
- •Производные высших порядков явно заданной функции
- •Производные высших порядков неявно заданной функции
- •Производные высших порядков параметрически заданной функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •Исследование функций с помощью производных Условия возрастания и убывания функции
- •Понятие экстремума
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Применение производных в экономике
- •Функция нескольких переменных План
- •Определение функции нескольких переменных. Область определения
- •Линии уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •Частные производные первого и высших порядков
- •Полный дифференциал и его применение при приближенных вычислениях
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная по направлению, градиент функции
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области
- •Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- •Метод наименьших квадратов
- •Основы интегрального исчисления План
- •Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования
- •Рациональные дроби
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрический функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •Определенный интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Основные методы вычисления определенного интеграла
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Некоторые приложения определенного интеграла в экономике
- •Несобственные интегралы
- •Дифференциальные уравнения План
- •Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные уравнения. Уравнения я. Бернулли
- •Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия)
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения второго порядка
- •Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики
- •Числовые и функциональные ряды План
- •Основные понятия. Сходимость ряда
- •Необходимый признак сходимости
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Знакопеременные ряды. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Функциональные ряды. Степенные ряды. Сходимость степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
Понятие обратной функции
Пусть задана функция y = f(x) с областью определения D и множеством значений E. Если каждому соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения E и множеством значений D. Функция называется обратной к функции y = f(x) и записывается: .
Справедливо: . Поэтому функции f и называются взаимно обратными.
Замечание. Функция y = f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда она взаимно однозначная, т.е. каждому соответствует единственный и наоборот. Отсюда следует, что любая монотонная функция имеет обратную.
Правило нахождения обратной функции для взаимно однозначной функции y = f(x):
1. Из уравнения y = f(x) выражаем ;
2. Переобозначая , получим функцию , обратную данной.
Графики взаимно обратных функций y = f(x) и симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Понятие сложной функции
Пусть y = f(u) определена на множестве D, а функция определена на множестве D1, причем для соответствующее значение . Тогда на множестве D1 определена функция , которая называется сложной функцией от x или функцией от функции или композицией функций.
Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.
Можно рассматривать сложные функции от любого количества промежуточных аргументов. Например, сложная функция от 2-х промежуточных аргументов выглядит так:
.
Пример. – сложная функция. Ее можно записать в виде следующей цепочки равенств:
Применение функций в экономике
В экономике наиболее часто используются следующие функции:
1.Функция полезности – зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия;
2. Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов;
3. Функция выпуска – зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов;
4. Функция издержек – зависимость издержек производства от объема продукции;
5. Функции спроса, потребления и предложения – зависимость объема спроса, потребления и предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т. д.);
и другие.
Числовые последовательности
Определение 11. Числовая последовательность – функция натурального аргумента, т.е. функция вида .
Числовая последовательность обозначается: или , или .
Числа называются членами последовательности, нижний индекс означает номер элемента. Число называется n-м или общим членом последовательности, а формула называется формулой общего члена последовательности.
Так как последовательность является числовой функцией, то к ней применимо большинство понятий, справедливых для числовых функций (ограниченность, монотонность и др.).
Определение 12. Пусть и – две числовые последовательности. Суммой, разностью, произведением и отношением этих последовательностей называются числовые последовательности , члены которых образованы по правилу: .
Предел последовательности
Определение 13. Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое натуральное число , что для всех n > N члены этой последовательности удовлетворяют неравенству .
В этом случае говорят, что последовательность имеет предел и пишут:
Таким образом,
Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, а последовательность, не имеющая конечного предела, – расходящейся.
Неравенство равносильно неравенству .
Определение 14. Интервал вида , где называется -окрестностью или просто окрестностью точки а числовой оси.
Определение предела имеет следующий геометрический смысл: число а является пределом последовательности , если для любой -окрестности точки а найдется натуральное число N, что все значения , для которых n>N, попадут в -окрестность точки.
Ясно, что чем меньше , тем больше число N, но в любом случае внутри -окрестности точки а содержатся почти все члены этой последовательности, а вне окрестности может оказаться лишь конечное их число.
Теорема 1. Сходящиеся последовательности обладают следующими свойствами:
1. сходящаяся последовательность может иметь только один предел;
2. сходящаяся последовательность ограничена (обратно: всякая ограниченная монотонная последовательность сходится);
3. если последовательности и сходятся к числам a и b соответственно, т. е. , то
.
Определение 15. Последовательность называется бесконечно большой, если
При этом последовательность называется положительной бесконечно большой, если и отрицательной бесконечной большой, если .
Определение 16. Последовательность называется бесконечно малой, если