- •GfВведение в математический анализ План
- •Множества
- •Операции над множествами
- •Понятие функции, ее области определения и множества значений. Способы задания функции
- •Основные свойства функции
- •Понятие обратной функции
- •Понятие сложной функции
- •Применение функций в экономике
- •Числовые последовательности
- •Предел последовательности
- •Число е, применение в экономике
- •Предел функции
- •Замечательные пределы
- •Бесконечно малые, бесконечно большие функции
- •Классификация бесконечно малых
- •Односторонние пределы функции
- •Непрерывность функции, классификация точек разрыва
- •Основы дифференциального исчисления функции одной переменной План
- •Определение производной
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Правила дифференцирования функций
- •Дифференцирование сложной, обратной функций
- •Производная неявной и параметрически заданной функций
- •Определение и геометрический смысл дифференциала
- •Производные высших порядков явно заданной функции
- •Производные высших порядков неявно заданной функции
- •Производные высших порядков параметрически заданной функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •Исследование функций с помощью производных Условия возрастания и убывания функции
- •Понятие экстремума
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Применение производных в экономике
- •Функция нескольких переменных План
- •Определение функции нескольких переменных. Область определения
- •Линии уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •Частные производные первого и высших порядков
- •Полный дифференциал и его применение при приближенных вычислениях
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная по направлению, градиент функции
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области
- •Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- •Метод наименьших квадратов
- •Основы интегрального исчисления План
- •Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования
- •Рациональные дроби
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрический функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •Определенный интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Основные методы вычисления определенного интеграла
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Некоторые приложения определенного интеграла в экономике
- •Несобственные интегралы
- •Дифференциальные уравнения План
- •Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные уравнения. Уравнения я. Бернулли
- •Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия)
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения второго порядка
- •Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики
- •Числовые и функциональные ряды План
- •Основные понятия. Сходимость ряда
- •Необходимый признак сходимости
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Знакопеременные ряды. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Функциональные ряды. Степенные ряды. Сходимость степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
Понятие функции, ее области определения и множества значений. Способы задания функции
Пусть D – произвольное подмножество действительных чисел ().
Определение 5. Если каждому числу поставлено в соответствие по некоторому правилу или закону одно вполне определенное значение y = f(x), то говорят, что на множестве D определена числовая функция f.
В определении речь идет об однозначной функции. Если допускать, что каждому отвечает не одно, а несколько (или даже бесконечное множество) значений y, то функцию называют многозначной. В дальнейшем будем рассматривать однозначные функции.
Множество D называется областью определения функции f и обозначается D(f), а множество – множеством значений функции и обозначается Е(f).
Для записи функции применяются следующие обозначения: y = f(x), , .
Величина х называется независимой переменной или аргументом функции, а величина у – зависимой переменной или функцией.
Способы задания функции: аналитический, табличный, графический.
Аналитический способ задания функции состоит в том, что с помощью формулы, или нескольких формул, или уравнений устанавливается алгоритм вычисления значений функции f(x) для каждого из значений .
Под областью определения понимают множество x, при которых данная формула имеет смысл.
Табличный способ задания функции осуществляется табличным перечислением n значений аргумента и соответствующих им значений функции .
Графический способ задания функции состоит в представлении функции y = f(x) графиком в некоторой системе координат.
Определение 6. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (х; f(x)), где х D(f).
Основные свойства функции
Средствами элементарной математики для функции y = f(x) с областью определения D(f) в большинстве случаев можно определить следующие характеристики:
1. Нули и знак функции.
Значения , при которых функция f обращается в нуль, называются нулями функции, т.е. нули функции являются корнями уравнения f(x)=0.
Если f(x)>0 на некотором интервале, то говорят, что функция на этом интервале положительная и график функции расположен выше оси Ox.
Если f(x)<0 на некотором интервале, то говорят, что функция на этом интервале отрицательная и график функции расположен ниже оси Ox.
В нуле функции график имеет общую точку с осью Ox.
2. Четность или нечетность функции.
Определение 7. Числовая функция f называется четной (нечетной), если .
График четной функции симметричен относительно оси Оу, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.
3. Периодичность функции.
Определение 8. Функция f называется периодической, если существует такое число Т 0, что для выполняются условия:
1) ;
2) f(x – Т) = f(x + Т) = f(x).
Число Т называется периодом функции.
Заметим, что если Т является периодом функции f(x), то число nT , где – также период этой функции. Если существует наименьший положительный период функции, то его называют основным периодом.
4. Интервалы возрастания, убывания функции.
Определение 9. Функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве ХD(f), если для любых значений таких, что < , справедливо неравенство f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).
Возрастающие и убывающие на множестве Х функции называются монотонными функциями на этом множестве.
5. Ограниченность функции.
Определение 10. Функция y = f(x) называется ограниченной на множестве Х D(f), если существует такое число М > 0, что для выполняется: |f(x)| M.
Из определения следует, что график ограниченной функции располагается между прямыми y=M и y= –M.