- •GfВведение в математический анализ План
- •Множества
- •Операции над множествами
- •Понятие функции, ее области определения и множества значений. Способы задания функции
- •Основные свойства функции
- •Понятие обратной функции
- •Понятие сложной функции
- •Применение функций в экономике
- •Числовые последовательности
- •Предел последовательности
- •Число е, применение в экономике
- •Предел функции
- •Замечательные пределы
- •Бесконечно малые, бесконечно большие функции
- •Классификация бесконечно малых
- •Односторонние пределы функции
- •Непрерывность функции, классификация точек разрыва
- •Основы дифференциального исчисления функции одной переменной План
- •Определение производной
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Правила дифференцирования функций
- •Дифференцирование сложной, обратной функций
- •Производная неявной и параметрически заданной функций
- •Определение и геометрический смысл дифференциала
- •Производные высших порядков явно заданной функции
- •Производные высших порядков неявно заданной функции
- •Производные высших порядков параметрически заданной функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •Исследование функций с помощью производных Условия возрастания и убывания функции
- •Понятие экстремума
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Применение производных в экономике
- •Функция нескольких переменных План
- •Определение функции нескольких переменных. Область определения
- •Линии уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •Частные производные первого и высших порядков
- •Полный дифференциал и его применение при приближенных вычислениях
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная по направлению, градиент функции
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области
- •Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- •Метод наименьших квадратов
- •Основы интегрального исчисления План
- •Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования
- •Рациональные дроби
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрический функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •Определенный интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Основные методы вычисления определенного интеграла
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Некоторые приложения определенного интеграла в экономике
- •Несобственные интегралы
- •Дифференциальные уравнения План
- •Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные уравнения. Уравнения я. Бернулли
- •Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия)
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения второго порядка
- •Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики
- •Числовые и функциональные ряды План
- •Основные понятия. Сходимость ряда
- •Необходимый признак сходимости
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Знакопеременные ряды. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Функциональные ряды. Степенные ряды. Сходимость степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
Необходимый признак сходимости
Теорема 1 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при , т. е.
. (4)
Замечание. Данная теорема выражает лишь необходимый, но не достаточный признак сходимости ряда. Если , то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Если же , то ряд расходится.
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Теорема 2 (первый признак сравнения). Пусть и – ряды с положительными членами, причем
для всех номеров n, начиная с некоторого номера n=k. Тогда:
1. Если ряд сходится, то сходится и ряд ;
2. Если ряд расходится, то расходится и ряд .
Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:
1. Геометрический ряд – сходится при , расходится при ;
2. Гармонический ряд – расходится;
3. Обобщенный гармонический ряд – сходится при , расходится при .
Теорема 3 (предельный признак сравнения). Пусть и – ряды с положительными членами, причем существует конечный и отличный от нуля предел отношения их общих членов
,
то ряды одновременно сходятся, либо расходятся.
Теорема 4 (признак Даламбера). Пусть – ряд с положительными членами, и существует конечный предел отношения (n+1)-го члена к n-му члену
.
Тогда, если:
1) q<1, то данный ряд сходится;
2) q>1, то данный ряд расходится;
3) q=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, т. е. данный ряд может сходиться, а может расходиться. В этом случае рекомендуется дополнительное исследование с помощью других признаков.
Замечание. Если , то ряд расходится.
Теорема 5 (радикальный признак Коши). Пусть – ряд с положительными членами, и существует конечный предел
.
Тогда, если:
1) q<1, то данный ряд сходится;
2) q>1, то данный ряд расходится;
3) q=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, т. е. данный ряд может сходиться, а может расходиться. В этом случае рекомендуется дополнительное исследование с помощью других признаков.
Замечание. Если , то ряд расходится.
Теорема 6 (интегральный признак сходимости). Пусть – ряд с положительными членами, и . Тогда, если соответствующая функция f(x) – положительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежутке , то
ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд вида
, (5)
где для всех (т. е. ряд, в котором любые два соседних члена имеют разные знаки).
Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости.
Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (5) сходится, если выполняются следующие условия:
-
Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т. е.
;
-
Общий член ряда стремится к нулю: .
При этом сумма S ряда (5) удовлетворяет неравенствам:
.
Замечание. Исследование знакочередующегося ряда вида
сводится путем умножения всех его членов на (–1) к исследованию ряда (5).