- •GfВведение в математический анализ План
- •Множества
- •Операции над множествами
- •Понятие функции, ее области определения и множества значений. Способы задания функции
- •Основные свойства функции
- •Понятие обратной функции
- •Понятие сложной функции
- •Применение функций в экономике
- •Числовые последовательности
- •Предел последовательности
- •Число е, применение в экономике
- •Предел функции
- •Замечательные пределы
- •Бесконечно малые, бесконечно большие функции
- •Классификация бесконечно малых
- •Односторонние пределы функции
- •Непрерывность функции, классификация точек разрыва
- •Основы дифференциального исчисления функции одной переменной План
- •Определение производной
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Правила дифференцирования функций
- •Дифференцирование сложной, обратной функций
- •Производная неявной и параметрически заданной функций
- •Определение и геометрический смысл дифференциала
- •Производные высших порядков явно заданной функции
- •Производные высших порядков неявно заданной функции
- •Производные высших порядков параметрически заданной функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •Исследование функций с помощью производных Условия возрастания и убывания функции
- •Понятие экстремума
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Применение производных в экономике
- •Функция нескольких переменных План
- •Определение функции нескольких переменных. Область определения
- •Линии уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •Частные производные первого и высших порядков
- •Полный дифференциал и его применение при приближенных вычислениях
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная по направлению, градиент функции
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области
- •Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- •Метод наименьших квадратов
- •Основы интегрального исчисления План
- •Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования
- •Рациональные дроби
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрический функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •Определенный интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Основные методы вычисления определенного интеграла
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Некоторые приложения определенного интеграла в экономике
- •Несобственные интегралы
- •Дифференциальные уравнения План
- •Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные уравнения. Уравнения я. Бернулли
- •Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия)
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения второго порядка
- •Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики
- •Числовые и функциональные ряды План
- •Основные понятия. Сходимость ряда
- •Необходимый признак сходимости
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Знакопеременные ряды. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Функциональные ряды. Степенные ряды. Сходимость степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
Уравнения с разделяющимися переменными
Определение 6. Дифференциальное уравнение вида
(3)
где – непрерывные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.
Отметим, что правая часть уравнения представляет собой произведение, в которой один сомножитель зависит только от x, а другой – только от у. Метод решения такого вида уравнений носит название разделения переменных. Он состоит в следующем:
Умножим обе части уравнения (3) на dx и одновременно поделим обе его части на (предполагая, что ):
Считая y известной функцией от x, равенство можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по y, а правую по x, получим:
Мы получили соотношение, связывающее решение у, независимую переменную x и произвольную постоянную С, т. е. получили общий интеграл уравнения (3).
Замечание. Уравнение вида приводится к уравнениям с разделяющимися переменными заменой .
Однородные дифференциальные уравнения
Определение 7. Функция называется однородной функцией степени n относительно переменных x и у, если при любом справедливо тождество
Определение 8. Уравнение первого порядка
(4)
называется однородным относительно x и y, если функция есть однородная функция нулевой степени относительно переменных x и у.
Замена т. е. y=ux приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
Замечание 1. Уравнение является однородным, если и однородные функции одной и той же степени. Это следует из того, что отношение двух однородных функций одной и той же степени является однородной функцией степени нуль.
Замечание 2. К однородным уравнениям приводятся уравнения вида . Это достигается линейной заменой , где – координаты очки пересечения прямых и . Если же указанные прямые не пересекаются, то в этом случае уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены .
Линейные уравнения. Уравнения я. Бернулли
Определение 9. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид
(5)
где , – заданные непрерывные функции от x , в частности – постоянные.
Если , то уравнение (5) называется линейным однородным уравнением; если же функция не равна тождественно нулю, то уравнение (5) называется линейным неоднородным уравнением.
Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа). Рассмотрим однородное уравнение
Его общее решение имеет вид . Решение исходного уравнения (5) ищется в виде:
(6)
Подставляя (6) в (5), для определения получим уравнение . Откуда
(7)
где С – произвольная постоянная. Подставляя из (7) в (6), находим общее решение уравнения (5):
(8)
Метод Бернулли. Решение уравнения (5) ищется в виде , где и – неизвестные функции от x, причем одна из них произвольна, но не равна нулю. Действительно, любую функцию можно представить в виде
Тогда . Подставляя y и в (5), имеем
или
Подберем так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т. е. решим уравнение . В виду свободы выбора функции , среди множества решений этого уравнения выберем решение . Тогда находим из уравнения
т. е. где С – произвольная постоянная. Перемножая и , находим решение (8).
Определение 10. Уравнением Бернулли называется уравнение вида
(9)
При n=0 получаем линейное уравнение, при n=1 – уравнение с разделяющимися переменными.
Уравнение Бернулли можно привести к линейному уравнению заменой Однако на практике решения уравнения Бернулли удобней искать в виде , не приводя его к линейному уравнению.