12. I теорема Больцано – Коши.

ТЕОР1: Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [A, B] и на концах сегмента имеет значения разных знаков. Тогда существует точка С(А, В) в которой f(C)=0.

Док-во: Пусть f(A)<0 и f(B)>0. Разделим сегмент [A, B] пополам. Если значение функции в середине сегмента равно 0, то теорема доказана. В противном случае выберем тот из двух полученных сегментов, на концах которого функция имеет значение разных знаков. Обозначим его [A1, B1]. Повторим деление. Если продолжать этот процесс неограниченно, то либо на к-ом шаге значение функции в середине сегмента [Aк, Bк] окажется равным 0. Либо получим последовательность [A, B]  [A1, B1]  [A2, B2] … [An, Bn]… вложенных сегментов, причем Bn – An = (В – А)/ 0 при n и на концах каждого сегмента [An, Bn] функция имеет значения разных знаков.  Существует точка С принадлежащая всем сегментам. Докажем, что f(C)=0.

ПП: Пусть f(C)>0, тогда существует окрестность точки С (по Т об устойчивости знака непрерыв Ф), в которой f(C)>0. В эту окрестность при большом n попадает сегмент [An, Bn].  На [An, Bn] будет выполняться неравенство f(x)>0, это противоречит тому, что на концах [An, Bn] функция имеет значения разных знаков (если f(C)<0 аналогично).

12. II теорема Больцано – Коши.

ТЕОР: Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте[a, b], причем f(a)=A, f(b)=B. Пусть далее С – любое число, заключенное между А и В. Тогда на сегменте [a, b] найдется точка X0 такая, что f(X0)=C.

Док-во: Пусть A<B и A<C<B. Рассмотрим функцию (x) = f(x) – C. Эта функция непрерывна на [a, b] как разность непрерывных функций и принимает на концах сегмента значения разных знаков: (a)=f(a) – C=A – C<0 и (b)=f(b) – C=B – C>0. Тогда (по1 Т Б-К) существует точка Х0(a, b) такая, что (Х0)=f(X0) – C=0 f(X0)=C.

12. I теорема Вейерштрасса.

ТЕОР: Если функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на этом сегменте.

Док-во: ПП: пусть f(x) не ограничена на [a, b]. Разделим сегмент пополам, тогда, по крайней мере, на одном из сегментов функция не ограничена. Обозначим этот сегмент [a1, b1]. Продолжим процесс деления неограниченно получим последовательность [a, b]  [a1, b1]  [a2, b2] … [an, bn]… Это последовательность вложенных отрезков, на каждом из них функция не ограничена (по предположению). По построению bn - an =(b – a)/ 0 при n. Тогда существует единственная точка С принадлежащая всем этим отрезкам. Функция f(x) определена и непрерывна на [a, b].  Она непрерывна в точке С, но тогда (лемма) существует окрестность точки С, в которой f(x) ограничена. При большом n в эту окрестность попадает сегмент [an, bn], на котором функция также ограничена. Противоречие.  Она ограничена на этом сегменте.

ЗАМ: теорема неверна, если сегмент заменить на интервал.

12. II теорема Вейерштрасса.

ТЕОР: Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], то она достигает на этом сегменте своих точных граней, т. е. существуют точки X1, X2[a, b] такие, что f(X1)=M=sup f(X2)=m=inf f(x) на сегменте [a, b].

Док-во: Так как f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке (1 Т В).  Существует точная верхняя М и точная нижняя m грани функции f(x) на отрезке [a, b]. Докажем, что функция достигает М, т. е. существует точка Х1[a, b], что f(X1)=M. Тогда для х[a, b] выполняется неравенство f(x)<M. Построим вспомогательную функцию F(x)= >0 для х[a, b]. Функция F(x) непрерывна (как частное непрерывных функций). Но тогда (по 1 Т В) F(x) ограничена, т. е. найдется число >0 такое, что х[a, b]  или f(x)M – 1/.. Т. о. число М – 1/ является верхней гранью f(x) на отрезке [a, b]. Но это противоречит тому, что М – точная верхняя грань f(x) на отрезке [a, b].  Существует точка X1[a, b], в которой f(x)=M. (Нижняя грань аналогично)

ЗАМ: после доказательства факта, что непрерывная на [a, b] функция достигает своих точной нижней и верхней граней, точную верхнюю грань принято называть максимальным значением, а точную нижнюю грань – минимальным значением. Теорема формулируется:

Непрерывная на [a, b] функция принимает на нем свое min и max значение.