Бесконечно малые функции. Действия над ними.
ОПР1: Функция называется бесконечно малой в точке х=А (или при хА), если предел этой функции в точке А равен 0.
ОПР2: (К) Функция (х) называется бесконечно малой в точке х=А (или при хА), если для любого положительного числа >0 существует >0 такое, что для всех хХ, удовлетворяющих условию 0<|x – A|<, выполняется неравенство |(x)|<.
(>0)(=()>0)(xX,0<|x – A|<):|(x)|<
ОПР3: (Г) Функция (х) называется бесконечно малой в точке х=А (или при хА), если для любой сходящейся к А последовательности {Xn} значений аргумента Х, отличных от А, соответствующая последовательность значений функции {(Xn)} является бесконечно малой. ({Xn}A, XnA):{F(Xn)} – б-м
ТЕОР1: Для выполнения равенства limf(x)=b необходимо и достаточно, чтобы функция
х
(х)=f(х) - b была бесконечно малой при хa.
Док-во: Необходимость: пусть limf(x)=b. Рассмотрим разность (х)=f(х) – b и докажем, что (х) – бесконечно малая функция при хa. Действительно lim (х)=lim(f(х) – b)=limf(x) – lim b=b – b=0.
Достаточность: Пусть (х)=f(х) – b, где (х) – бесконечно малая функция при хa. Докажем, что limf(x)=b. Так как f(x)=b+(х), то limf(x)= lim(b+(х))= lim b+ lim (х) =b+0=b.
ТЕОР2: Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при ха, а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную являются бесконечно малыми функциями при ха.
Док-во: Вытекает из определения предела функции по Гейне и свойств бесконечно малых последовательностей.
Бесконечно большие функции. Связь с бесконечно малыми.
ОПР1: (К) Функция А(х) называется бесконечно большой в точке х=А (или при хА), если для любого положительного числа >0 существует >0 такое, что для всех хХ, удовлетворяющих условию 0<|x–A|<, выполняется неравенство |А(x)|>.
(>0)(=()>0)(xX,0<|x – A|<):|A(x)|>
ОПР2: (Г) Функция А(х) называется бесконечно большой в точке х=А (или при хА), если для любой сходящейся к А последовательности {Xn} значений аргумента Х, отличных от А, соответствующая последовательность значений функции {A(Xn)} является бесконечно большой.
({Xn}A, XnA): {F(Xn)} – б-б
ТЕОР1: Функция обратная бесконечно малой является бесконечно большой и наоборот.
Док-во: Пусть f(x) – бесконечно малая функция, т. е. ее предел равен 0. Пусть >0, так как f(x) – бесконечно малая, то для 1/>0 (=()>0) (xX, xA, |x-A|<): |f(x)|<1/ при этих условиях |1/f(x)|>. (>0) (=(A)>0) (xX, xA, |x-A|<): |1/f(x)|> 1/f(x) – бесконечно большая функция и ее предел равен .
Сравнение бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно больших функций.
ОПР1: Говорят, что (х) является в точке А бесконечно малой функцией более высокого по
рядка,
чем (х),
если lim
=0.
=о()
хА
ОПР2: Говорят, что (х) и (х) являются в точке А бесконечно малыми функциями одного порядка, если lim =А.
хА
ОПР3: Говорят, что (х) и (х) являются в точке А эквивалентными бесконечно малыми функциями, если lim =1. (х)(х)
хА
ЗАМ: Аналогичны правила для бесконечно больших функций. Справедливы для хА+, А-, +, - , .
ТЕОР2: Если (х) и (х) бесконечно малые функции, то (х) * (х) = о( (х)) и (х) (х) = о((х)).
Док-во: lim ((x)(x))/(x)=lim (x)=0, так как (x) – бесконечно малая функция (х)(х) = о( (х)) ((х) (х) - более высокого порядка, чем (х))
lim ((x) (x))/(x)=lim (х)=0, так как (х) –бесконечно малая функция (х) (х) = о((х)) ((х) (х) - более высокого порядка, чем (х))
ТЕОР3:
Если (х)
1(х)
и (х)
1(х)
бесконечно малые функции и хА,
то существуют lim
и
lim
,
причем они равны.
хА хА
Док-во: lim1(x)/1(x)=lim(1(x)/(x))((x)/(x)))((x)/1(x))=lim(1(x)/(x))lim((x)/(x))lim((x)/1(x))= =1lim((x)/(x))1=lim((x)/(x))