Направление выпуклости функции.
ОПР1: Будем говорить, что график функции Y=f(x) имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (a, b).
ТЕОР1: Если функция Y=f(x) имеет на интервале (a, b) вторую производную и f ’’(x) 0 (f ’’(x) 0)во всех точках (a, b), то график функции Y=f(x) имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).
Док-во: Докажем для f ’’(x) 0 для x(a, b). Пусть X0 - точка (a, b). Докажем, что график функции Y=f(x) лежит не ниже касательной, проходящей через точку M(X0, f(X0)). Уравнение касательной имеет вид Y=f(X0) + f ’(X0) (x - X0), где Y – текущая ордината касательной. Разложим функцию Y=f(x) в ряд Тейлора для n=1. Получим y =f(x) =f(X0) + (f ’(X0)/1!) (x - X0) + (f ’’()/2!) (x - X0), где (X0, x). Вычитая полученные равенства, имеем y – Y=(f ’’()/2!) (x - X0) . Так как f ’’() 0 по условию, то (f ’’()/2!) (x - X0) 0 для x(a, b) y – Y 0 y Y для x(a, b). А это означает, что всюду на (a, b) график функции лежит не ниже касательной, проведенной через точку M(X0, f(X0)).
Точки перегиба графика функции. Необходимое условие точки перегиба.
ОПР1: Точка M(X0, f(X0)) называется точкой перегиба графика функции Y=f(x), если в точке M график имеет касательную, и существует такая окрестность точки X0, в пределах которой график функции Y=f(x) слева и справа от точки X0 имеет разные направления выпуклости.
ТЕОР1: Пусть график функции Y=f(x) имеет перегиб в точке M(X0, f(X0)) и пусть функция Y=f(x) имеет в точке непрерывную вторую производную. Тогда f ’’(x) в точке обращается в 0, т. е. f ’’(x)=0.
Док-во: ПП: что f ’’(X0) 0. Тогда в силу непрерывности второй производной по теореме об устойчивости знака непрерывной функции существует окрестность точки X0, в которой f ’’(X0) < 0 (f ’’(X0) > 0), и значит (по Т о направлении выпуклости) график функции Y=f(x) имеет определенное направление выпуклости в этой окрестности. Но это противоречит наличию перегиба в точке M(X0, f(X0)). Это и доказывает теорему.
Достаточное условие точки перегиба.
ТЕОР1: Пусть функция Y=f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки X0. Тогда, если в пределах указанной окрестности f ’’(X0) имеет разные знаки слева и справа от точки X0, то график Y=f(x) имеет перегиб в точке M(X0, f(X0)).
Док-во: Из того, что f ’’(X0) слева и справа от точки X0, имеет разные знаки, на основании теоремы о направлении выпуклости заключаем, что направление выпуклости графика функции слева и справа от точки X0 являются различными. Это и означает наличие перегиба в точке M(X0, f(X0)).
ЗАМ: теорема верна, если функция имеет II производную в окрестности точки за исключением самой точки и существует касательная к графику в этой точке.
Асимптоты графика функции: вертикальная, горизонтальная, наклонная. Геометрический смысл наклонной асимптоты.
ОПР1: Прямая x = X0 называется вертикальной асимптотой графика функции Y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений lim f(x) или lim f(x) при x X0+ или X0- равно + или -.
ОПР2: Прямая y = A называется горизонтальной асимптотой графика функции Y=f(x) при x+ (x -) если lim f(x) =A.
ОПР3: Прямая Y=k x + b (k 0) называется наклонной асимптотой графика функции Y=f(x) при x+ (x - ), если функцию f(x) можно представить в виде f(x) = k x + b + (x), где (x) 0 при x+ (x - ).
Геометрический смысл наклонной асимптоты: Рассмотрим случай x+.
П
усть
M(x,
y)
– точка графика функции Y=f(x)
и пусть прямая Y=k
x
+ b
является наклонной асимптотой графика
функции при x+.
Опустим перпендикуляры из точки М
на ось абсцисс и на асимптоту.
Пересечение первого перпендикуляра с
осью ОХ назовем
точкой N(x,
Y1),
а второго – точкой P.
Тогда |MN|=|y
- Y1|=|f(x)
– (k
x
+ b)|=|
(x)
| 0
при x+.
d=|MP|=|MN|
cos
,
где
– угол между асимптотой и осью
ОХ, и
lim
d=0.
Т. о., расстояние от точки M(x, y) графика функции до асимптоты стремится к 0 при x+, т. е. график функции неограниченно приближается к асимптоте при x+.
ТЕОР1: Для того, чтобы график функции Y=f(x) имел при x+ асимптоту Y=k x + b, необходимо и достаточно существование пределов lim (f(x)/x) =k и lim (f(x) - k x) =b при x+.
Док-во: Необходимость: Пусть график функции Y=f(x) имеет при x+ асимптоту Y=k x + b, т. е. для f(x) справедливо представление f(x) = k x + b + (x). Тогда при x+
lim (f(x)/x) = lim ((k x + b + (x)) /x) = lim (k + b/x + (x)/x) = k и lim (f(x) - k x) = lim (b +(x)) = b.
Достаточность: Пусть существуют пределы lim (f(x)/x) =k и lim (f(x) - k x) =b при x+. Из второго равенства, что разность f(x) - k x - b является бесконечно малой при x+. Обозначим эту бесконечно малую через (x), получим для f(x) представление: f(x) = k x + b + (x).
Для x - аналогично.