4. Теорема о существовании точной верхней и точной нижней граней.

ТЕОР5: О существовании точной верхней грани.

Пусть Х не пустое, ограниченное сверху множество, тогда оно имеет точную верхнюю грань.

Док–во: Множество У, ограничивающих сверху множество Х, т. е. У – множество верхних граней множества Х (хХ) (с): хс. По свойству непрерывности (хХ) (уУ): хсу. Так как хс  с – ограничивает множество Х; так как су  с – наименьшее из таких чисел, т. е. является точной верхней гранью множества Х.

ТЕОР6: О существовании точной нижней грани.

Пусть Х не пустое, ограниченное снизу множество, тогда оно имеет точную нижнюю грань.

Док–во: Множество У, ограничивающих снизу множество Х, т. е. У – множество нижних граней множества Х (хХ) (с): хс. По свойству непрерывности (хХ) (уУ): хсу. Так как хс  с – ограничивает множество Х; так как су  с – наибольшее из таких чисел, т. е. является точной нижней гранью множества Х.

5. Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей. Действия над ними.

ОПР1: Если для любого n  N поставлена в соответствие по закону вещественное число Xn, множество Х1, Х2, Х3,…, Хn,… - числовая последовательность или последовательность. Числа Х1, Х2,…, Хn,… - элементы последовательности, Xn - общий член последовательности, n - его номер. Последовательность содержит бесконечное число элементов, любые два элемента отличаются хотя бы номерами, геометрически изображается точками на прямой и координаты равны значениям элементов.

ОПР2: Способы задания.

Аналитический – с помощью формулы.

Алгоритмический – с помощью описания.

ОПР3: Произведение последовательности на число {Xn}*m – последовательность {m*Xn}.

ОПР4: Сумма двух последовательностей {Xn}+{Yn} – последовательность суммы {Xn+Yn}.

ОПР5: Разность двух последовательностей {Xn}-{Yn} – последовательность разности

{Xn-Yn}.

ОПР6: Произведение двух последовательностей {Xn}*{Yn} – последовательность произведения {Xn*Yn}.

ОПР7: Частное двух последовательностей {Xn}/{Yn} – последовательность частного {Xn/Yn}.

6. Ограниченные и неограниченные последовательности.

ОПР1: Последовательность {Xn} ограничена сверху, если cуществует точка М такая, что для любого члена последовательности выполняется неравенство XnM. (M)(Xn): XnM

ОПР2: Последовательность {Xn} ограничена снизу, если существует точка m такая, что для любого члена последовательности выполняется неравенство XnM. (m)(Xn): Xnm

ОПР3: Последовательность {Xn} ограничена, если существуют точки М и m такие, что для любого члена последовательности выполняется неравенство mXnM.

(M, m)(Xn): mXnM

ОПР4: Последовательность {Xn} ограничена, если существуют точка А=max (|m|, |M|) такая, что для любого члена последовательности выполняется неравенство |Xn|A. (A>0)(Xn): |Xn|A

ОПР5: Последовательность {Xn} неограниченна, если для любой точки А>0, найдется хотя бы один элемент последовательности удовлетворяет неравенству |Xn|>A. (A>0)(Xn): |Xn|>A

7. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности: определение, свойства, связь между ними.

ОПР1: Последовательность {Xn} бесконечно большая, если для любой точки А>0, каким бы большим оно не было, существует номер N такой, что для любого n>N удовлетворяет неравенству |Xn|>A. (A>0)(N)(n>N): |Xn|>A

(A>0)(N=A+1): |Xn|>A

ОПР3: Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной, обратное неверно, не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой.

ОПР4: Последовательность {n} бесконечно малая, если для любой точки >0, каким бы малым оно не было, существует номер N, начиная с которого выполняется неравенство |n|<. (>0)(N)( n>N):|n|<

ТЕОР1: О связи бесконечно большой и бесконечно малой последовательности.

1. Если последовательность {Xn} - бесконечно большая и все ее члены отличны от 0 (Хn0), то последовательность {1/Xn} - бесконечно малая.

Док–во: Пусть {Xn} – бесконечно большая последовательность. Возьмем любое >0 и положим A=1/. По определению бесконечно большой последовательности для А существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство |Xn|>A, отсюда получаем, что |1/Xn|=1/|Xn|<1/A= для всех n>N. А это значит, что последовательность {1/Xn} – бесконечно малая.

2. Если последовательность {Xn} - бесконечно малая и все ее члены отличны от 0 (Хn0), то последовательность {1/Xn} - бесконечно большая.

Док–во: Пусть {Xn} – бесконечно малаяая последовательность. Возьмем любое >0 и положим A=1/. По определению бесконечно малой последовательности для А существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство |Xn|<A, отсюда получаем, что |1/Xn|=1/|Xn|>1/A= для всех n>N. А это значит, что последовательность {1/Xn} – бесконечно большая.

ТЕОР2: Произведение двух бесконечно малых последовательностей – последовательность бесконечно малая.

Док–во: Пусть {n} и {n} бесконечно малые последовательности. Покажем, что последовательность {nn} бесконечно малая. Так как последовательность {n} бесконечно малая, то для >0 существует номер N1, такой, что |n|< для всех n>N1. А так как {n} бесконечно малая последовательность, то для =1 существует номер N2 такой, что |n|<1 при всех n>N2. Возьмем N=max{N1,N2}, тогда при всех n>N будут выполняться оба неравенства одновременно  при всех n>N |nn|=|n||n|<1=. Это означает, что последовательность {nn}является бесконечно малой.

СЛЕД1: Произведение любого числа на бесконечно малую последовательность – последовательность бесконечно малая.

ТЕОР3: Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей – последовательность бесконечно малая.

Док–во: Пусть {n} и {n} бесконечно малые последовательности. Покажем, что последовательность {n+n} бесконечно малая. Пусть  – произвольное положительное число, N1 – номер, начиная с которого выполняется неравенство |n|</2, а N2 - номер, начиная с которого выполняется неравенство |n|</2. Такие номера N1 и N2 существуют по определению бесконечно малой последовательности. Возьмем N=max{N1,N2}, тогда при всех n>N будут выполняться оба неравенства одновременно  при всех n>N |n+n|=|n|+|n|</2+/2=. Это означает, что последовательность {n+n}является бесконечно малой.

СЛЕД2: Алгебраическая сумма любого числа бесконечно малых последовательностей – последовательность бесконечно малая.

ТЕОР4: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую – последовательность бесконечно малая.

Док–во: Пусть {Xn} ограниченная последовательность, а {n} – бесконечно малая последовательность. Покажем, что последовательность {nXn} – бесконечно малая. Так как последовательность {Xn} ограничена, то существует число А>0, такое, что для любого элемента Xn выполняется неравенство |Xn|<A. Возьмем >0. Так как {n} бесконечно малая последовательность, то для положительного числа /A существует номер N, такой, что |n|</A  при всех n>N имеем |nXn|<A/A=. А это означает, что последовательность {nXn} является бесконечно малой.

ЗАМ: Частное двух бесконечно малых последовательностей - не всегда последовательность бесконечно малая, она может быть бесконечно малой, бесконечно большой и ограниченной.