12. Едел функции в точке.

ОПР1: (Г) Число B называется пределом функцииПр У = F(Х) в точке А (или при ХА), если для любой последовательности значений аргумента Х1, Х2,…, Хn,…, сходящейся к А и состоящей из чисел Хn, отличных от А, соответствующая последовательность значений функции F(X1), F(X2),…,F(Xn),… сходится к числу B. ({Xn}A, XnX, XnA):{F(Xn)}B

ОПР2: (К) Число B называется пределом функции У = F(Х) в точке А (или при ХА), если для любого положительного числа  найдется отвечающее ему положительное число , зависящее от , такое, что для всех значений аргумента Х, удовлетворяющего условию 0<|X – A|<, справедливо неравенство |F(X) – B|<.

(>0)( =()>0)( xX:0<|x – A|<):|F(x) – B|<

ОПР3: (Г) Число B называется правым (левым) пределом функции У = F(Х) в точке А (или при ХА), если для любой последовательности значений аргумента {Хn}, сходящейся к А и состоящей из чисел Хn, больших (меньших) А, соответствующая последовательность значений функции F(Xn) сходится к числу B. ({Xn}A, XnX, Xn>A):{F(Xn)}B

({Xn}A, XnX, Xn<A):{F(Xn)}B

ОПР4: (К) Число B называется правым (левым) пределом функции У = F(Х) в точке А (или при ХА), если для любого положительного числа  найдется отвечающее ему положительное число , зависящее от , такое, что для всех значений аргумента Х, удовлетворяющего условию А<X<А+ (А - <X<А), справедливо неравенство |F(X) – B|<.

(>0)( =()>0)( xX:А<x<А+):|F(x) – B|<

(>0)( =()>0)( xX:А - <x<А):|F(x) – B|<

ТЕОР1: Функция f(x) имеет предел в точке А тогда только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и оно равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

Док-во: Пусть правый и левый пределы f(x) равны В. Тогда (по опр прав и лев предела) для (>0) (1>0 и 2>0) (X) удовлетворяющих условию A-S1<X<A и A<X<A+S2, выполняется условие |f(x)–B|<S. Возьмем =min{1,2}. Тогда для X, удовлетворяющих условию 0<|X – A|<S, будет выполняться неравенство |f(x) – B|<S.  lim f(x)=B в точке А.

ОПР5: (Г) Число B называется пределом функции У = F(Х) при Х, если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента {Хn} соответствующая последовательность значений функции {F(Xn} сходится к числу B.

({Xn}A, XnX):{F(Xn)}B

ОПР6: (К) Число B называется пределом функции У = F(Х) при Х, если для любого положительного числа  найдется отвечающее ему положительное число , зависящее от , такое, что для всех значений аргумента Х, удовлетворяющего условию |X|>, справедливо неравенство |F(X) – B|<. (>0)( =()>0)( xX:|x|>):|F(x) – B|<

ОПР7: (Г) Число B называется пределом функции У = F(Х) при Х+ (при Х - ), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента {Хn}, все элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции {F(Xn} сходится к числу B.

({Xn} – б-б, XnX, Xn>0):{F(Xn)}B

({Xn} – б-б, XnX, Xn<0):{F(Xn)}B

ОПР8: (К) Число B называется пределом функции У = F(Х) при Х+ (при Х- ), если для любого положительного числа  найдется отвечающее ему положительное число , зависящее от , такое, что для всех значений аргумента Х, удовлетворяющего условию X> (X<), справедливо неравенство |F(X) – B|<.

(>0)( =()>0)( xX:x>):|F(x) – B|<

(>0)( =()>0)( xX:x<):|F(x) – B|<