12. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного двух функций.

ТЕОР1: Если функции u=U(x), v=V(x) дифференцируемы в точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы: (uv)’=u’v’; (uv)’=u’v+v’u; ’= .

Д ок-во: Воспользуемся определением производной, равенством f(x+X)=f(x)+ Y и теоремой о пределах суммы, разности, произведения и частного.

(uv)’=lim [u(x+X)  v(x+X)] – [u(x)  v(x)] = lim u(x+X) –u(x)  v(x+X) – v(x) =

 X X X

= lim u(x+X) –u(x)  lim v(x+X) – v(x) = lim (u /X)  lim (v /X) = u’  v’

 X X

(uv)’= lim u(x+X) v(x+X) – u(x) v(x) = lim (u(x)+ u)  (v(x)+v) - u(x) v(x) =

 X X

lim u(x) v(x) + u v(x) + v u(x) + u v - u(x) v(x) =lim [v(x) (u /X) +u(x) (v /X) +v(u/X)]

 X

= v lim (u /X) + u lim (v /X) + lim v  lim (u/X) = v  u’ + u  v’ + 0  u’ = u’  v+ u  v’

(u / v)’=lim [u(x) + u] / [v(x)+v] – [u(x) / v(x)] =lim u(x+X)  v(x) – u(x)  v(x+X) =

 X X v(x+X)  v(x)

=lim [u(x)+ u] v(x) – u(x) [v(x)+v] = lim u  v + u  v – u  v – u  v =lim v (u /X) - u (u /X)

 X[v(x)+v]  v(x) X[v + v]  v v  v + v v

= u’  v – u  v’

v v

Так как lim v =0 (в силу дифференцируемости, а  и непрерывности v(x)), а множители u и v не зависят от v.

12. Производные элементарных функций.

ТЕОР1: Производная функции f(x)=C выражается формулой Y’=0.

Док-во: Для х и X имеем: f = f (х +X) – f(x) = C – C = 0. Отсюда f /Х = 0/Х = 0 при Х0.  Y’= lim f /X = 0.

ТЕОР2: Производная функции Y=X , где n - целое число, выражается формулой Y’=n X .

Док-во: Используя формулу бинома Ньютона , имеем

Y= (X+X) - Х =( Х +n  X  X +((n(n – 2))/2!)  X (X) +K (X) ) - X = n X  X + +((n(n – 1))/2!)  X (X) +K(X) . Т. о., при Х0

Y/X = n  X +((n(n – 2))/2!)  X (X) + K (X) . Так как lim X=0, lim (X) =0, то Y’= lim Y/X = n  X .

ТЕОР3: Производная функции Y=sin X выражается формулой Y’=cos X.

Док-во: Имеем Y= sin(X+X) – sinX = 2sin(X/2)  cos(X+X/2). Т. о., при Х0

 Y/X = 2sin(X/2)  cos(X+X/2) = sin(X/2)  cos(X+X/2).

X X/2

Так как lim sin(X/2) =1, а lim cos(X+X/2) = cos X, то Y’= lim Y/X =cos X.

 X/2

ТЕОР4: Производная функции Y=cos X выражается формулой Y’= -sin X.

Док-во: Имеем Y= cos(X+X) – cos X = -2sin(X/2)  sin(X+X/2). Т. о., при Х0

 Y/X = -2sin(X/2)  sin(X+X/2) = - sin(X/2)  sin(X+X/2).

X X/2

Так как lim sin(X/2) =1, а lim -sin(X+X/2) = -sin X, то Y’= lim Y/X =-sin X.

 X/2

ТЕОР5: Производная функции Y=tg X выражается формулой Y’=1/cos X (X/2+n, nZ).

Д ок-во: Y’=(tg X)’=(sin X/cos X)’=(sinX)’ cosX – sinX (cosX)’ = cos X + sin X = 1

cos X cos X cos X

ТЕОР6: Производная функции Y=ctg X выражается формулой Y’= -1/sin X (Xn, nZ).

Док-во: Y’=(ctg X)’=(cos X/sin X)’=(cosX)’ sinX – cosX (sinX)’ = - (sin X + cos X) = -1

s in X sin X sin X

ТЕОР7: Производная функции Y=log X (0<a1) выражается формулой Y’=(1/X)log e=1/(xln a).

Док-во: Имеем Y=log (X+X) - log X = log ((X+X)/X) = log (1+X/X). Т. о., при Х0

Y/X = (1/X)  log (1+X/X) = (1/X)  (Х/X)  log (1+X/X) = (1/X)  log (1+X/X) .

Полагая Х/X=h, имеем: lim (1+X/X) = lim (1+1/h) =e. Так как логарифмическая функция является непрерывной, то Y’=lim Y/X =(1/X)  log [lim(1+X/X) ]= (1/X)  log e = 1/(Xln a).

СЛЕД: Если Y=log X =ln X, то Y’=(1/X).