12. Понятие локального экстремума. Необходимое условие локального экстремума.

ОПР1: Точка X0 – называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f(x), если для всех x из некоторой  окрестности точки X0 выполняется неравенство f(x)<f(X0) (f(x)>f(X0)).

ОПР2: Функция f(x) имеет в точке X0 локальный экстремум, если она имеет в этой точке либо локальный максимум, либо локальный минимум.

ОПР3: Функция f(x) имеет в точке С локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность точки С, в пределах которой значение f(C) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этой функции.

ТЕОР1: Если функция f(x) имеет в точке X0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f(X0)=0.

Док-во: Пусть функция f(x) в точке X0 имеет наибольшее значение, т. е. f(x) f(X0) для х(a, b). Это значит, что Y =f(X0+X) – f(X0)  0 для  точки X0+X (a, b). Поэтому, если X>0 (т. е. x>X0), то Y/Х0 и  lim Y/Х0, т. е. f ’(X0)0, если же X<0 (т. е. x<X0), Y/Х 0и  lim Y/Х 0, т. е. f ’(X0)0. Получили, что правая производная в точке X0 неположительная, а левая – неотрицательная. По условию f ’(X0), существует и значит, f ’(X0) = f ’(X0) = f ’(X0). Это возможно только в случае, когда f ’(X0) = f ’(X0) = 0. Но тогда f ’(X0) = 0. (Для наименьшего значения аналогично)

Геометрический смысл теоремы Ферма: Если функция f(x) имеет в точке X0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, т. е. существует касательная к графику функции в точке (X0; а(X0)), то эта касательная параллельна оси ОХ.

ЗАМ: теорема не верна, если функцию рассматривать на отрезке.

ТЕОР2: Пусть функция f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки С за исключением, может быть самой точки С. Тогда, если в пределах указанной окрестности f ’(x) >0 слева от точки С и f ’(x)< 0 справа от точки С, то функция f(x) имеет в точке С локальный максимум. Если f ’(x)< 0 слева от точки С и f ’(x) >0 справа от точки С, то функция имеет в точке С локальный минимум. Если f ’(x) имеет один и тот же знак слева и справа от точки С, то экстремума в точке С нет.

12. Теорема Ролля.

ТЕОР1: Пусть на [a, b] определена функция f(x), причем:

1. f(x) непрерывна на [a, b];

2. f(x) дифференцируема на (a, b);

3. f(a) = f(b).

Тогда существует точка C(a, b), в которой f ’(c) =0.

Док-во: Так как функция f(x) непрерывна на [a, b], то она достигает на этом отрезке максимальное значение M и минимальное значение m, т. е. существуют такие точки X1, X2[a, b], что f(X1) = m, f(X2)=M , и выполняется неравенство m f(x) M.

Возможны 2 случая: 1) m=M ; 2)m<M.

В первом случае f(x) = const = m = M. Поэтому производная f ’(x) = 0 в любой точке [a, b], и теорема доказана.

Во втором случае так как f(a) = f(b), то хотя бы одно из двух значений M и m, не принимается на концах отрезка [a, b], т. е. существует точка C(a, b), в которой функция f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение на интервале (a, b). В этом случае, так как f(x) дифференцируема в точке C, то (по Т Ферма) f ’(x) =0.

Геометрический смысл: Между двумя точками кривой, заданной уравнением (где функция f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема внутри этого отрезка), с равными ординатами всегда найдется, по крайней мере, одна точка, в которой касательная к кривой параллельна оси ОХ.