12. Метод замены переменных.

Часто введение новой переменной позволяет свести исходный интеграл к табличному.

ОПР: Метод введения новой переменной называется методом замены переменной или методом подстановки.

ТЕОР: Пусть функция X =(t) определена и дифференцируема на промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула  f(x)dx =  f((t))  ’(t)dt.

Док-во: Пусть функция F(x) – первообразная для f(x). Рассмотрим на Т сложную функцию F((t)). Возьмем производную этой функции по правилу дифференцирования сложной функции.

(F((t)))’ = F’((t)) ’(t) = f((t)) ’(t)  Функция имеет на множестве Т первообразную. Тогда  f((t)) ’(t)dt = F((t)) + C = F(x) +C =  f(x)dx =  f((t)) ’(t)dt = f(x)dx.

12. Интегрирование по частям.

ТЕОР: Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на промежутке Х и пусть функция u’(x)  v(x) имеет на этом промежутке первообразную. Тогда на промежутке Х функция u(x)  v’(x) тоже имеет первообразную и справедлива формула  u(x)  v(x)dx = u(x)  v(x) -  v(x)  u’(x)dx.

Док-во: Рассмотрим функцию u(x)  v(x), возьмем производную (u(x)  v(x))’ = u’(x) v(x) +v’(x) u(x). Выразим v’(x) u(x) = (u(x)  v(x))’ - u’(x) v(x). Функция u(x)  v(x) является первообразной для [u(x)  v(x)]’. Т. о. правая часть равенства интегрируема, и имеет первообразную  имеет первообразную и левая часть равенства. Получим интегрируя:  u(x)  v’(x)dx = u  v -  v(x)  u’(x)dx - формула интегрирования по частям.  u  dv = u  v -  v  du – рабочая формула, u – часть, которая упрощается дифференцированием, dv – часть, интеграл от которой существует.

12. Основные типы интегралов, берущихся по частям.

Практика интегрирования показывает, что большая часть интегралов берущихся по частям делится на следующие группы:

1. Подынтегральная функция содержит функции lnX, arcsinX, arccosX, arctgX, arcctgX, ln((x)) и степени этих функций. Указанные функции - u, оставшаяся часть - dv.

2. Вида  (ax + b) cos(CX)dx, nN,  (ax + b) sin(CX)dx,  (ax + b) e , где a, b, c, - const. Эти интегралы берутся путем n – кратного применения формулы интегрирования по частям. u =(ax + b) , 1 k  n, dv - оставшаяся часть.

3. Вида  e  sin(BX)dx,  e cos(BX)dx,  sin(lnX)dx,  cos(lnX). Обозначим исходный интеграл I, 2 раза берем интеграл по частям, в правой части выражение содержащее исходный интеграл I, решаем уравнение относительно I.

4. Существуют интегралы берущиеся по частям и не относящиеся к этим группам.