- •Множества. Операции над множествами.
- •Множество вещественных чисел. Свойства вещественных чисел.
- •Грани числовых множеств. Свойство точной грани.
- •Теорема о существовании точной верхней и точной нижней граней.
- •Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей. Действия над ними.
- •Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности: определение, свойства, связь между ними.
- •Понятие сходящейся последовательности. Предел последовательности.
- •Основные свойства сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах.
- •Монотонные последовательности.
- •Число е.
- •Теорема о вложенных промежутках.
- •Понятие функции и способы ее задания.
- •Едел функции в точке.
- •Теорема о пределах функции.
- •I замечательный предел.
- •II замечательный предел.
- •Бесконечно малые функции. Действия над ними.
- •Бесконечно большие функции. Связь с бесконечно малыми.
- •Сравнение бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно больших функций.
- •Определение непрерывной функции в точке, на отрезке. Определение кусочно-непрерывной функции.
- •Теорема о сумме, произведении, частном непрерывных функций.
- •I теорема Больцано – Коши.
- •II теорема Больцано – Коши.
- •I теорема Вейерштрасса.
- •II теорема Вейерштрасса.
- •Теорема о непрерывной сложной функции.
- •Теорема о непрерывной обратной функции.
- •Понятие производной.
- •Геометрический смысл производной.
- •Понятие дифференцируемости функции.
- •Непрерывность и дифференцируемость функции.
- •Понятие дифференциала. Геометрический смысл.
- •Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного двух функций.
- •Производные элементарных функций.
- •Теорема о производной обратной функции.
- •Производные обратных функций.
- •Теорема о производной сложной функции.
- •Производные высших порядков.
- •Дифференциалы высших порядков.
- •Возрастание, убывание функции в точке. Достаточное условие возрастания, убывания функции в точке.
- •Понятие локального экстремума. Необходимое условие локального экстремума.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Лагранжа.
- •Теорема Коши.
- •Условие монотонности функции на интервале.
- •Стационарные точки. I достаточное условие экстремума.
- •Достаточное условие экстремума.
- •Направление выпуклости функции.
- •Точки перегиба графика функции. Необходимое условие точки перегиба.
- •Достаточное условие точки перегиба.
- •Асимптоты графика функции: вертикальная, горизонтальная, наклонная. Геометрический смысл наклонной асимптоты.
- •Понятие первообразной. Теорема и лемма о первообразной.
- •Понятие неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.
- •Основные свойства неопределенного интеграла.
- •Метод замены переменных.
- •Интегрирование по частям.
- •Основные типы интегралов, берущихся по частям.
Понятие дифференцируемости функции.
ОПР1: Функция Y=f(x) называется дифференцируемой в точке X0, если ее приращение Y в этой точке можно представить в виде Y=AX+(X)X, где А – некоторое число, не зависящее от X, а (X) – функция аргумента X, являющаяся бесконечно малой при X0, т. е. lim (X)=0.
ТЕОР1: Для того, чтобы функция Y=f(x) была дифференцируема в точке X0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Док-во: Необходимость: Пусть функция Y=f(x) дифференцируема в точке X0, т. е. ее приращение представимо в виде Y=AX+(X)X. Поделим это равенство на X, получим Y/X=А+(X). Переходя к пределу при X0, имеем lim (Y/X)=lim (А+(X))=A. Производная в точке X0 существует и f ’(X0)=А.
Достаточность: Пусть существует конечная производная f ’(X0), т. е. lim (Y/X)= f ’(X0). Обозначим f ’(X0)=А, тогда функция (X)=Y/X - А является бесконечно малой при X0. Из последнего равенства имеем Y=AX+(X) X, где lim (X)=0. Получено представление Y=AX+(X)X. Функция Y=f(x) дифференцируема в точке X0.
Непрерывность и дифференцируемость функции.
ТЕОР2: Если функция Y=f(x) дифференцируема в данной точке X0, то она и непрерывна в этой точке.
Док-во: Так как функция Y=f(x) дифференцируема в точке X0, то ее приращение в этой точке можно представить в виде Y=AX+(X)X. Тогда, переходя к пределу при X0 получаем limY=AlimX+lim (X)limX=0, что означает непрерывность функции Y=f(x) в точке X0 согласно определению.
Понятие дифференциала. Геометрический смысл.
Пусть функция Y=f(x) дифференцируема в точке X0, т. е. ее приращение Y в этой точке представимо в виде: Y=AX+(X)X, где lim (X)=0. Слагаемое AX является при X0 бесконечно малой одного порядка с X (при А0), оно линейно относительно X. Слагаемое (X) при X0 бесконечно малая более высокого порядка, чем X, так как lim ((X) X)/X = lim (X)=0. Т. о. первое слагаемое является главной частью приращения функции.
ОПР1: Дифференциалом функции Y=f(x) в точке X0 называется главная, линейная относительно X, часть приращения функции в этой точке. Обозначается dY= AX.
Если А=0, то AX не является главной частью приращения Y. Однако и в этом случае по определению дифференциал функции в точке X0 равен AX, т. е. dY=0. Можно записать дифференциал в виде dY= f ’(X0) X.
Дифференциалом независимой переменной называют приращение этой переменной dX=X. Соотношение имеет вид dY= f ’(X0) dX. Можно вычислить f ’(X0): f ’(X0)=dY/dX.
П усть точка М на графике соответствует значению аргумента X0, а точка Р – значению аргумента Х0+Х. Проведем касательную MS к графику в точке М. Обозначим через угол, образованный касательной с осью ОХ. Пусть MN || OX, PN || OY и Q – точка пересечения касательной с PN. Тогда приращение функции равно величине отрезка PN. Из треугольника MQN имеем: QN= tg X= f ’(X0) X= dY Дифференциал функции равен величине отрезка QN. Видно, что PN и QN различны. Т. о. дифференциал dY функции f(x) в точке X0 равен приращению ординаты касательной MS к графику в точке М.