12. Теорема о пределах функции.

ТЕОР1: Пусть две функции f(x) и g(x) заданы на одном множестве и имеют пределы в точке А, равные В и С. Тогда функции f(x)+g(x), f(x) – g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x) имеют в точке А пределы равные В+С, В – С, В*С, В/С (при С0).

Док-во: Пусть {Xn} – произвольная, сходящаяся к А последовательность, все элементы которой отличны от А. Последовательности {f(Xn)} и {g(Xn)} сходятся к пределам В и С (опр. предела Ф. по Г). Тогда последовательности {f(Xn)+g(Xn)}, {f(Xn) – g(Xn)}, {f(Xn)g(Xn)}, {f(Xn)/g(Xn)} сходятся к пределам В+С, В – С, ВС, В/С (С0).  Функции f(x)+g(x), f(x) – g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) имеют в точке А пределы равные В+С, В – С, ВС, В/С (С0).

ТЕОР2: Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки А, за исключением, быть может, самой точки А, и функции f(x) и h(x) имеют предел в точке А, равный В. Пусть, кроме того, выполняется неравенство f(x)g(x) h(x) для всех хХ. Тогда предел функции g(x) в точке А равен В.

Док-во: Пусть {Xn} – произвольная, сходящаяся к А последовательность значений аргумента функций f(x) и h(x), все элементы которой отличны от А. Последовательности {f(Xn)} и {h(Xn)} сходятся к пределу В. Используя неравенства f(x)g(x) h(x) для nN. Но тогда последовательность {g(Xn)} сходятся к пределу В.  lim g(x)=B в точке А.

12. I замечательный предел.

ТЕОР1: Предел функции g(x) = в точке х = 0 существует и равен 1, т.е. lim =1

n

Док-во: Рассмотрим дугу окружности радиуса R=1 с центральным углом, радиальная мера которого равна Х (0<X</2).

Т огда АО=1, sin X=MK, tg X=AT.

Площадь треугольника ОАМ меньше площади сектора ОАМ, которая меньше площади треугольника ОАТ, или 1/2ОАМК<1/2OAAM<1/2OAAT  1/2sin X<1/2X<1/2tg X  sin X<X<tg X. Разделим эти неравенства на sin X>0, получим 1< < . Для обратных величин справедливы обратные неравенства cosX< <1.

Так как неравенства справедливы при 0<X</2  они справедливы и при -/2<X<0, так как при замене Х на –Х все три функции cosX, (sin X)/X и 1 не меняют своих значений. Т. о. неравенства справедливы при всех Х(-/2, /2), за исключением точки Х=0.

Так как обе функции f(x)=cosX и h(x)=1 имеют в точке Х=0 предел равный 1, то g(x)= тоже имеет в точке Х=0 предел равный 1.

12. II замечательный предел.

ТЕОР1: Предел функции f(x) = при х существует и равен числу е, т.е. lim = e.

х

Док-во: Пусть X>1.

Положим n=[x] (целая часть Х), тогда X=n+, где n – натуральное число, а  удовлетворяет условию 0<1. Так как nX<n+1, 1/(n+1)<1/X1/n и 1+1/(n+1)<1+1/X1+1/n, то (по свойству возрастания показательной Ф. с основанием, большим 1) < < . При Х (n) lim =lim lim =e1=e и lim =[lim ]/[lim ]=e.  lim =e.

Пусть теперь X<-1, X= -Y.

Тогда lim =lim =lim =lim lim = e1=e

(при X -, Y +).

Окончательно имеем lim = e.