Вопросы для самопроверки по теме 1.8
В чём состоит задача Коши?
Напишите расчётную формулу метода Эйлера при решении дифференциального уравнения 1-го порядка и формулу оценки погрешности на каждом шаге.
Раздел 2. Теория функций комплексного переменного
Второй раздел включает шесть тем: Комплексные числа и действия над ними; Функции комплексного переменного (ФКП). Условия Коши-Римана; Элементарные функции и конформные отображения; Представление регулярных функций интегралами; Представления регулярных функций рядами; Вычеты функций и их применение.
Работа с разделом 2 завершается выполнением контрольной работы.
Для того чтобы Вы смогли успешно ответить на вопросы контрольного теста, Вам предоставляется возможность поработать с репетиционным тестом. Он является полным аналогом контрольного теста, однако время работы с ним не ограничено, и даются правильные ответы на вопросы.
Если Вы испытываете затруднения в ответе на какой-либо вопрос, обратитесь к глоссарию или учебному пособию.
Если Вы справились с репетиционным тестом, переходите к контрольному тесту. Индивидуальный вариант теста следует получить у своего преподавателя (тьютора), при этом время ответа ограничено. Каждый правильный ответ контрольного теста оценивается в два балла, следовательно, в сумме по первому разделу можно получить 20 баллов.
Желаем успеха!
2.1. Комплексные числа и действия над ними
Изучаемые вопросы: Определение комплексного числа (к.ч.). Геометрическая интерпретация к.ч. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы к.ч. Действия с к.ч. в различных формах.
После изучения материала опорного конспекта и письменных лекций Вам следует решить одну из задач контрольной работы согласно [4]. Для проверки усвоения материала Вам предстоит ответить на вопросы для самопроверки.
Формы представления комплексных чисел (К.ч.)
Говорят, что
существует взаимнооднозначное
соответствие
между числом и точкой вещественной оси
(рис.1). Также, между точками плоскости
и парами вещественных чисел существует
взаимнооднозначное соответствие.
Назовём такое число
комплексным,
где
– координаты комплексного числа на
плоскости. Это будет т.н. координатная
форма комплексного числа.
Рис.2
Рис.1
К.ч.
отвечает вектор
из начала координат. Его компоненты:
и
,
или
,
где
– длина вектора, или его модуль,
– угол между вектором и положительным
направлением оси
,
или аргумент
к.ч.,
(иногда его называют фазой)
(рис.2).
Используют также
алгебраическую
форму
представления К.ч., записывая его в виде
,
где
– вещественные числа, а
– символ, такой что
,
называемый мнимой
единицей.
Тогда в тригонометрической
форме К.ч.
может быть записано как
.
Важным свойством всех этих форм записи является то, что при этом удовлетворяются основные правила алгебры.
Подробнее об этом Вы прочтёте в Учебном пособии. Здесь же мы хотели бы сделать следующее замечание. Непосредственный физический смысл имеют, конечно же, только действительные величины. Но комплексные функции, содержащие символ мнимой единицы играют важную роль в физике и технике. Этому есть, по крайней мере, три причины.
1. Многие физические
величины описываются функциями
и
от двух переменных
и
,
связанных уравнениями
. (1)
Такие пары
встречаются, например, в двумерных
задачах электростатики и гидродинамики.
В этом случае
и
являются вещественной и мнимой частями
аналитической
функции
комплексного переменного
.
2. Решения дифференциальных уравнений физики в некоторых областях действительного переменного получаются в виде степенных рядов. А тот же степенной ряд может представлять функцию комплексного переменного, поэтому изучение комплексных переменных часто помогает получить более компактные выражения для вещественных значений аргумента.
3. Многие интегралы, заданные в вещественной форме, легче вычисляются, будучи связанными с комплексными интегралами при использовании метода контурного интегрирования, основанного на теореме Коши.