5. Метод трапеций

Согласно этому методу, каждая пара соседних точек соединяется прямой линией, образуя последовательность трапеций.

Площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, которая, в данном случае, равна расстоянию между точками по оси Х. Интеграл равен сумме площадей всех трапеций.

I= . (17)

2.6. Метод Симпсона

Согласно правилу Симпсона, для аппроксимации данных используется уравнение параболы, построенной по трем точкам (правило 1/3) или по четырем точкам (правило 3/8).

(18)

I = . (19)

Пример 1.

Вычислить определенный интеграл

с помощью методов прямоугольников и трапеций с числом шагов, равным 5. Сравнить результаты вычислений двумя методами. (Истинное значение интеграла равно 3.208).

□Метод прямоугольников

Для удобства запишем значения функции в узлах в таблицу.

xi	f(xi) слева	f(xi) справа
0 1 2 3 4	0 0.5 0.667 0.75 0.8	0.5 0.667 0.75 0.8 0.833
Σ	2.717	3.55

График подинтегральной функции выглядит следующим образом:

Значение интеграла (слева) просто равно сумме значений в узлах, т.к. шаг и равно 2.717, значение интеграла (справа) = 3.55.

Среднее значение интеграла равно (2.717+3.55)/2 = 3.1335.

Метод трапеций

Таблица значений получается, по сути дела, той же самой

xi	f(xi)
0 1 2 3 4 5	0 0.5 0.667 0.75 0.8 0.833

И значение интеграла

■

Задание 4

Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 1 –го порядка методом Эйлера

1. Цель работы

Изучение метода Эйлера интегрирования дифференциальных уравнений 1 – го порядка.

2. Основные теоретические положения

Согласно методу Эйлера для решения дифференциального уравнения 1-го порядка

(20)

с начальным условием

(21)

(так называемая задача Коши) отрезок [a, b], на котором ищется решение задачи, разбивают на n частей с шагом h = (b – a) / n и находят значения

y_k = y(x_k) в точках x_k = x₀ + kh (k = 0,1,..n). Очевидно, что при этом x₀ = a, x_n = b. Значения y_k+1 определяется по формуле

, (22)

которая получается заменой производной на ее разностный аналог.

Погрешность вычислений на каждом шаге составляет

(23)

Пример 1.

Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка методом Эйлера. Вычисления выполнять с четырьмя десятичными знаками на отрезке [0,2; 1,2] с шагом 0,1. Уравнение:

□Для численного решения заданного уравнения с начальным условием нам потребуется выполнить шагов. На каждом шаге надо вычислить значения и .

Первый шаг. (k = 0). Имеем:

. Вычислим

.

Тогда и, следовательно, по формуле (22)

.

Делаем следующий шаг.

Второй шаг. (k=1).

.

Вычислим .

Тогда и .

И так далее.

Для удобства, все вычисления удобно представить в виде таблицы

k	xk	yk	y`k=f(xk, yk)	hyk	yk+1
0	0,2	0,25	0,6513	0,0651	0,3151
1	0,3	0,3151	0,7784	0,0778	0,3929
2	0,4	0,3929	0,9316	0,0932	0,4861
3	0,5	0,4861	1,1160	0,1116	0,5977
4	0,6	0,5977	1,3371	0,1337	0,7314
5	0,7	0,7314	1,6019	0,1602	0,8916
6	0,8	0,8916	1,9184	0,1918	1,0835
7	0,9	1,0835	2,2962	0,2296	1,3131
8	1,0	1,3131	2,7466	0,2747	1,5878
9	1,1	1,5878	3,2829	0,3283	1,9161
10	1,2	1,9161	3,2912	0,3291

Таким образом, задача решена. ■