2.4. Представление регулярных функций интегралами

Изучаемые вопросы: Интеграл от ФКП. Свойства интеграла. Теорема Коши. Интеграл с переменным верхним пределом. Основная формула интегрального исчисления.

2.4.1. Интеграл от ФКП

Пусть на кривой плоскости задана ФКП (рис.1). Разобьём её на частей точками и составим интегральную сумму

, (1)

где . Будем бесконечно увеличивать дробление кривой так, чтобы . Тогда, если – кусочно-гладкая и непрерывная, то существует конечный предел суммы , не зависящий ни от способа дробления, ни от выбора точки , и он называется интегралом от вдоль кривой :

. (2)

Интеграл от ФКП можно выразить через вещественные криволинейные интегралы. Пусть, как обычно,

О свойствах интеграла Вы прочитаете в Учебном пособии.

2.4.2. Теорема Коши

Пусть регулярна в односвязной ограниченной области , тогда интеграл вдоль любой замкнутой кривой равен нулю. Т.е.

. (1)

Примем эту теорему без доказательства, и обобщим её на многосвязные области. Но сначала отметим, что условия Коши-Римана достаточны для того, чтобы . И обратно, если непрерывна в односвязной области и , то удовлетворяет условиям Коши-Римана в этой области.

Отсюда следует второе определение регулярной функции: однозначная и непрерывная функция называется регулярной, если .

Рассмотрим двусвязную область, как на рисунке.

Проведём в области разрез и рассмотрим контур , начиная от точки разреза на внешней границе. Обойдём этот контур в положительном направлении, т.е. так, чтобы область оставалась слева (жирные стрелки). Тонкие стрелки означают путь по внутренней границе в отрицательном направлении, но область всё равно остаётся слева, тогда интеграл по замкнутому контуру будет равен по внешнему контуру равен по всем внутренним контурам. ( В н

Рис.1.

ашем случае имеется только один внутренний контур). При этом интегралы по разрезам взаимно уничтожаются. Т.о.,

. (2)

2.4.3. И

нтеграл с переменным верхним пределом. Основная формула интегрального исчисления

Пусть функция регулярна в области . Рассмотрим функцию – интеграл с переменным верхним пределом от функции . Можно доказать, что существует производная этого интеграла, причём . Т.е. , как и в вещественном анализе, является первообразной функцией для . И, также,

. (3)

2.4.4. Интегральная формула Коши

1) Вычислим при целом , считая, что контур не проходит через точку . При , очевидно, . И этот интеграл будет однозначной регулярной функцией везде, при , или везде, кроме .

Пусть теперь . Тогда, считая что контур не проходит через точку _, получим интеграл . Если точка лежит вне контура , то, по теореме Коши, этот интеграл по любому замкнутому контуру будет равен нулю: .

Теперь пусть точка находится внутри контура . Тогда в точке подынтегральная функция не определена, и, значит, не регулярна. Окружим эту точку окружностью радиуса (см. рисунок), тогда регулярна в кольце .

Н

а кольце – аргумент числа . Но , тогда

и не зависит от радиуса . Итак,

(4)

2) Формула Коши. Пусть регулярна в области и – контур и точка . Составим функцию . Она регулярна везде в области , кроме точки . Окружим эту точку кругом радиуса (см. рисунок).

В серой области эта функция регулярна везде, тогда по теореме Коши

при обходе по в положительном направлении. Но , тогда

Члены, выделенные жирным шрифтом не зависят от , а последний член можно оценить, как

поскольку , а при . Следовательно, . И, заменяя на , получаем:

. (5)

Далее, точка лежит в области , точка – на линии , т.е. . Значит, подынтегральная функция в (5) непрерывна, и её можно дифференцировать по под интегралом сколько угодно раз. Тогда

. (6)

Итак, интегральная формула Коши (5) выражает значение регулярной функции во внутренней точке области через значение этой же функции на границе области. Оказывается также, что регулярная функция имеет производные любого порядка, которые, разумеется, также являются регулярными функциями. Их можно найти по формуле (6).

Формула Коши играет важную роль в ТФКП, являясь основой для решения граничных задач.

Вопросы для самопроверки по теме 2.4

1. Что называется интегралом от вдоль кривой ?

2. Как интеграл от ФКП выражается через вещественные криволинейные интегралы?

3. Сформулируйте теорему Коши для многосвязной области.

4. Дайте два определения регулярной функции.

5. Напишите основную формулу интегрального исчисления. Есть ли различия в ней для вещественного и комплексного переменного.

6. Чему равен ?

7. Напишите интегральную формулу Коши.