- •1. Понятие ф-ции.
- •2)Понятие обратной функции.
- •6) Предел монотонной последовательности.
- •3)Основные элементарные ф-ции их графики и св-ва.
- •5)Предел последовательности
- •12)Непрерывность ф-ции.
- •7)Предел ф-ции в точке.
- •11)Односторонний предел.
- •15)Использование непрерывности ф-ции для вычисления пределов.
- •8)Бесконечно малые и бесконечно большие ф-ции.
- •14)Односторонняя непрерывность, классификация разрыва ф-ции.
- •13)Непрерывность суммы, произведения, частного и сложной ф-ции.
- •9)Основные св-ва предельного перехода, а именно ограничение ф-ции имеющей предел, переход к пределу с равенством и неравенством. Предел монотонной ф-ции.
- •16)Св-ва непрерывных ф-ций на отрезке.
- •27)Инвариантность формы дифференциала.
- •29)Производные высших порядков для ф-ций, заданных параметрически и неявным образом.
- •10) Замечательные пределы.
- •35)Условия монотонности ф-ции.
- •34)Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя.
- •2 8)Производные высших порядков для ф-ций, заданных в явном виде.
- •18)Геометрический и механический смысл производной.
- •30)Поведение ф-ции на интервале (основные теоремы дифференцирования)
- •3 1)Теорема Роля:
- •32)Теорема Лагранжа:
- •33)Теорема о приращении двух ф-ций(Коши)
- •36)Максимумы и минимумы. Необходимое и достаточное условие максимума и минимума. Общая схема нахождения экстремумы.
- •45)Интегрирование по частям.
- •46)Циклические интегралы.
- •52)Интегрирование некоторых классов тригонометрических ф-ции.
- •53)Интегрирование некоторых иррациональных ф-ций с помощью тригонометрических ф-ции.
- •11111Определенный интеграл.
- •54)Классы интегрируемых ф-ций.
- •55)Основные св-ва определенного интеграла.
- •5. Теорема о среднем
- •57)Определенный интеграл, как ф-ция верхнего предела.
- •56)Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
- •58)Замена переменной в определенном интеграле.
- •59)Вычисление площадей в прямоугольной системе координат.
- •66) Приложение определенного интеграла для решения ф-их задач.
- •67)Несобственные интегралы.
- •68)Признаки сходимости несобственного интеграла.
- •69)Несобственные интегралы второго рода.
- •5. Теорема о среднем
- •47)Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование.
- •23)Производные основных элементарных ф-ций.
- •22)Понятие односторонней и бесконечной производной.
- •21)Производная сложной ф-ции, обратной,параметрической и заданной неявно.
1)Ф-ция одной переменной.
1. Понятие ф-ции.
Опр:Если каждому значению переменной х, принадлежащей некоторой области Х, соответствует одно определенное значение другой переменной у, области У, то у есть функция от х или символически y=f(x)-указывает, что над значением х нужно произвести какие-то операции, чтобы получить у.
Опр:Совокупность значений х, для которых определяются значения ф-ции у в силу правила f(x), называется областью определения ф-ции или областью существования ф-ции.
Опр: Если ф-ция y=f(x) такова, что большему значению аргумента х соответствует большее значение ф-ции, то ф-ция y=f(x) называется возрастающей, аналогично убывающая.
Замечание: иногда допускают, что каждому значению области х может соответствует, не одно, а несколько значений у или даже бесконечное множество значений. В этом случая ф-цию наз. многозначной, иначе однозначной.
Способы задания ф-ции.
1.Таблич. При этом спосбе выписывают в определенном порядке значения аргумента х1,х2…и соответсвующие значения ф-ции у1,у2…(в результате экперементального изучения)
2.Графический. Если в прямоугольной системе координат на плоскости задана некоторая совокупность точек М(х,у), при этом не существует две точки на прямой параллельной оси ОУ, то эта совокупность определяет некоторую однозначную ф-цию у=f(x).
3.Аналитический.
Опр: Аналитическим выражением - называют символическое обозначение, содержащие указание на те операции над значением х, обозначающим постоянные или переменные величины, чтобы получить значение у.
Если ф-ная зависимость y=f(x) такова, что f обозначает аналитическое выражение, то говорят, что ф-ция y от х задана аналитически.
Опр: предположим, что значения двух переменных х и у связаны м/д собой уравнением (алгеброическим), тогда такое задание ф-ции называется неявным. F(x,y)=0.
Опр: если область х и у являются зависимыми от некоторой области t по некоторому правилу, то такое задание называется параметрическим.x=a(t-sint)y=a(1-cost)-циклойда
Положение точки на плоскости можно определить с помощью так называемой полярной системы координат. На плоскоти выбирают т. О, называемую полюсом, и выходящ из точки луч(полупрямую), называемую полярной осью. Положение точки опр-ся число , выраж расстояние от полюса, -величина угла, образованного отрезком ОМ с полярной осью. М ( , )-полярные координаты точки.
2)Понятие обратной функции.
Пусть даны множества Х={x} и Y={y} и ф-ция f: XàY и g: YàX, при этом ф-ция f двум разным значениям x1 и x2 из Х ставит в соответствие разные значения y1=f(x1) и y2=f(x2) из Y. Тогда ф-цию g будем называть обратной к ф-ции f, если для всякого x X выполняется g(f(x))=x и для всякого y Y выполняется f(g(y))=y. Ф-ция g обратная к f, и обозначается f . Если учесть, что традиционно ф-цию обозначают y, а аргумент обозначают x, то обратной ф-ей к y=f(x) будет y=f (x).
Теорема: Если ф-ция f строго монотонна в области Х и имеет область Y , то для нее существует однозначная обратная ф-ция f ,определенная на Y и с областью значений Х.
Если непрерывная ф-ция не яв-ся строго монотонной во всей своей области определения, то, если возможно, область определения разбивают на интервалы, в которых ф-ция строго монотонна, и в каждом таком интервале справедливо вышестоящее утверждение.
Аналитически обратную ф-цию можно получить, выразив х через у, затем меняем х и у местами.
4)Суперпозиция ф-ций(сложная ф-ция, композиция ф-ций, ф-ция от ф-ции)
Последовательность как частный случай ф-ции(ф-ция целочисленного аргумента)
Опр: елси всякому натуральному n ставится в соответствии число Xn.
Xn=1, Xn=(-1)^n -1;1;-1;1, Xn=(1+1/n)^n 2,(3/2)^2,(4/3)^3, Xn=n!=1*2*…*n,0!=1, (n+1)!=n!(n+1), (2n)!!=2*4*6*8…(2n)=2^n*n!,