34)Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя.

Теорема1:Пусть f(x) и g(x) определены в [a,b]; lim f(x) и g(x), при xa равны 0.

Существуют конечные производные f(x) и g(x), причем g(x)0, тогда предел отношения этих функций равен отношению производных от этих функций.

Док-во:

Так как в точке а существуют конечные производные. То в окрестности точки а для x близких к а, g(x)0, в соответствии с леммой, тогда рассмотрим отношение:

Перейдем к пределу в это равенстве при xa, имеем

, в том случае если одновременно и f(x) в точке а, и g(x) в точке а=0 и первая производная обращается в нуль, тогда есть обобщение

Теорема2: Пусть f(x) и g(x) определены в [a,b]; lim f(x) и g(x), при xa равны 0.

В замкнутом промежутке существует конечная производная всех порядков до (n-1) и при x=a они обращаются в нуль.

Существует конечная производная f ⁽ⁿ⁾(a), и g ⁽ⁿ⁾(a)0, тогда

в случае если x=a, функция f(x) и g(x) не определены, то справедливо :

Теорема 3: Пусть f(x) и g(x) определены в полуоткрытом интервале (a,b]; lim f(x) и g(x), при xa равны 0.

В (a,b] существуют производные, при этом g(x)0.

Существует конечный или бесконечный предел отношения производных

, тогда и предел отношения функций равен k.

Док-во: в силу того, что lim f(x) и g(x) , при xa доопределим эти функции. f(a)=g(a)=0, тогда функции f(x) и g(x) определены в (a,b], тогда по тереме Коши имеем

; с[a;x), x(a;b]. так как f(a)=g(a)=0 перейдем к пределу учитывая, что xa , сa

, что и требовалось доказать.

Данные теоремы сводят предел отношения функций к пределу отношения производных.

Терема 4: Пусть f(x) и g(x) определены в x [c,); c>0;

Lim f(x) и g(x) , при x, =0.

Существует в [c,) конечные производные, причем g(x)0, и существует предел отношения производных, при x=k, тогда и предел отношения функций, при x=k.

Док-во:

Преобразуем x к новой переменной x=1/t, тогда x, t,тогда