7)Предел ф-ции в точке.

Определение предела ф-ции в точке и его геометрический смысл.

Опр: рассмотрим некоторую точку а. Окрестность точки а называется любой открытый промежуток с центром а, точку а тогда называют предельной точкой или точкой сгущения x, если в ее окрестности содержатся отличные от а значения х принадлежащие х.

Опр: ф-ция y=f(x)имеет предел число А при стремлении х к а если для всякого E>0 существует такое б>0, что лишь только |x-a|<б, так сразу |f(x)-A|<E.

Замечание: для сущ предела при хa не требуется, чтобы ф-ция была опр в x=a. При нахождении предела рассматриваются точки в окрестности а, отличные от а.

Предел функции равен конечному пределу А, при x стремящемуся к а., то есть функция стремиться к конечному пределу при x стремящемуся к а. f(x)-A|<E. Можно записать так

- < f(x)-A< . В случае когда функция стремиться к +, - бесконечности, тогда определение предела.

Опр: ф-ция y=f(x) имеет предел +оо(-оо) при стремлении х к а, если для всякого M>0, как велико оно ни было, можно найти такое б>0, что для всех значений х, отличных от а, удовлитворяющих условию |x-a|<б, имеет место нер-во |f(x)|>M. (ББ БМ). Называется бесконечно большим в окрестности точки а.

Опр: функция имеет предел –оо для всякого M>0, существует такое б>0, что f(x) >М, лишь только |x-a|<б, тогда предел функции равен –оо, при x стремящемуся к а.

Замечание: точка а принадлежит X, точка а не принадлежит X(может).

Если множество X содержит сколько угодно большие по абсолютной величине положительные и отрицательные значения x, то в этом случае имеется предел стремящийся к +оо(-оо).

Опр: а= +оо(-оо)

Функция при x-> +оо имеет конечный предел если каково бы ни было, то существует б>0, что |f(x)-A|<E. Лишь только |x|> б. предел функции равен конечному пределу при x стремящемуся +оо и –оо.

Наличие у функции предела геометрически иллюстрируется следующим образом.

.

Опр: ф-ция y=f(x) стремится к пределу А при хoo,если для каждого произвольно малого Е>0 можно указать такое положительное число б, что для всех значений х, уд-щих нер-ву |x|>б, будет выполнятся нер-во |f(x)-А|<Е

11)Односторонний предел.

Пусть область Х такова, что в любой окресности от точки а слева найдутся элементы области Х отличные от а, тогда а называется левой предельной точкой множества Х,при этом а может принадлежать Х, а может и не принадлежать.

Опр: число А называется пределом слева ф-ции y=f(x) при хa если для всякого E>0 существуют б>0, что лишь только a-б<х<а, так сразу |f(x)-A|<E

т.е. при xa-0 lim f(x)=A

Опр: число А называется пределом справа ф-ции y=f(x) при хa если для всякого E>0 существуют б>0, что лишь только а<х<а+б, так сразу |f(x)-A|<E

т.е. при xa+0 lim f(x)=A

Если а яв-ся одновременно предельной точкой для Х и павой и левой, то для существования предела ф-ции y=f(x) в точке а необходимо и достаточно существование предела слева и спарва и они были бы равны.

при хa F(x)= хa-0 F(x)= хa+0 F(x)