6) Предел монотонной последовательности.

Опр: монотонная последовательность называется возраст если для всякого n'>n выполняется ( )

Опр: монотонная последовательность называется убывающей если для всякого n'>n выполняется ( )

Указанные последовательности называются монотонными.

Теорема 1: пусть дана монотонная возрастающ последовательность Хn, если она огранич сверху, т.е. Xn<=M,для всякого M –константа, то она имеет конечный предел, в противном случае она стремится к +оо.

Теорема 2: пусть дана монотонная убывающая последовательность Хn, если она огранич снизу, т.е. Xn>=M,для всякого M –константа, то она имеет конечный предел, в противном случае она стремится к -оо.

3)Основные элементарные ф-ции их графики и св-ва.

Опр: элементарные ф-ции-которые можно получить из постоянных величин и

ф-ции:степенной, показательной, логарифмической, тригонометрической, обратной тригонометрической, гиперболической, с помощью + - */, и композиций.

1) у=|x|

2) y=signx (1при x>0,0 при x=0,-1при x<0)

3) y=E(x)=[x]=n, при n<=x<n+1,n Z.

4) рациональные и дробнорациональые. .

5) показательные у= x , y , a>0,a ,y=exp .

6) логарифмическая .

7) тригономитрическая y=secx=1/cosx, y=cosecx=1/sinx.

8) гиперболические ф-ции

9) обратно тригонометрические.

y=arcsecx y=arccosecx

10) степенная y=X^a

a-целое положительное

а-целое отрицательное,x

а-дробно рациональная

5)Предел последовательности

Рассмотрим ф-цию целочисленного аргумента n, значением аргумента пусть Хn. Х=f(n)

Х1=f(1), Х2=f(2)…

Опр: Последовательностью называют бесконечное множество чисел, нумерованных с помощью целых чисел и расположенных в порядке возрастания номеров.

Х1,Х2,….Хn

Может случится, что с увеличением n значения Хn сколько угодно приближаются к А тогда, говорят А предел f(n) или предел последовательности Xn.

Опр: Чичло А называется пределом последовательности, если для всех достаточно больших целых n соответствует значенгие Yn как угодно мало отличается от числа А.

Опр: постоянное число а называется пределом последовательности X1,X2,..Xn,если для всякого Е>0 сколько бы мало оно нибыло существует такое N, что для всех значений Хn у которого n>N удовлитворяет неравенству |Xn-a|<E, то говорят что

Xna noo

Замечание: номер N указанный в определении, зависит от выбора E. С уменьшением N( ) в общем случае N увеличивается N=N( )

Замечание: постоянная величина Xn имеет своим числом число а.

Выполняется для любого эпсилон и для любого n. Xn=a, Xna noo

Замечание: из определения следует, что последовательность не может иметь двух различных пределов.

12)Непрерывность ф-ции.

Определение непрерывности ф-ции в точке. Критерий непрерывности ф-ции в точке.

Рассмотрим ф-цию y=f(х), которая определена на множестве Х, Пусть х0 яв-ся предельной точкой Х, х0 Х.

Опр: ф-ция y=f(x) определена в окрестности точки х0, тогда она будет непрерывна в этой точке, если при xx0 limf(x)=f(x0),

Опр: ф-ция y=f(x) определена в окрестности точки х0, непрерывна в этой точке, если для всякого Е>0 существует б>0, что лишь только |x-x0|<б так |f(x)-f(x0)|<E

Опр: x-x0= x, f(x)-f(x0)= y, ф-ция y=f(x)непрерывна в точке х0 если для всякого Е>0 существует б>0, что лишь только | x|>0, так сразу | y|>0

Критерий:Для того чтобы ф-ция была неперывна в х0 необходимо и достаточно чтобы:

Необходимым и достаточным условием непрерывности функции в точке x ноль является равенство , если бесконечно малому приращению соответствует БМ –ая приращение аргумента. Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке.