45)Интегрирование по частям.
Пусть есть две ф-ции U=U(x), V=V(x) обе имеют производные и непрерывны тогда:
d(UV)=UdV+VdU
UdV=d(UV)-VdU
UdV=UV- VdU
Используется для вычисления интегралов вида:
46)Циклические интегралы.
Вида
Решается методом взятия интеграла дважды, после чего выражается нужный интеграл:
Первый равен:
Второй равен:
Рекуррентная формула
In=
=
+
+
=
=
In=
+2nIn-2na
In+1
=> In+1=
n+1=k, k=n-1
47)Интегрирование простейших правильных дробей.
Первый интеграл:
Второй интеграл:
Берется по рекуррентной формуле.
51)Подстановки Эйлера
1 подстановка:
2 подстановка:
3) два действительных и различных корня, тогда будут эти корни( и )
49)Разложение правильных рациональных дробей на простейшие.
50)Интегрирование иррациональных выражений.
1. Интеграл
вида R(x,x
,…,x
)
где R
рациональная ф-ция от своих аргументов.
Пусть k
общий знаменатель дробей m/n….r/s.
Сделаем подстановку x=t
,
dx=kt
dt.
Тогда каждая дробная степень х выразится через целую степень t и, следовательно подынтегральная ф-ция преобразуется в рациональную.
52)Интегрирование некоторых классов тригонометрических ф-ции.
1. Интеграл вида R(sinx,cosx)
tg(x/2)=t => sinx=2t/(1+t ) cosx=(1-t )/(1+t ) x=arctg(t) dx=2dt/(1+t )
Называется универсальная тригонометрическая подстановка.
2. Частный случай. (тк ч/з универсальную подстановку ф-ции будет иметь вид боле сложный)
R(sinx)cosxdx то подстановка sinx=t cosxdx=dt
3. Частный случай
R(cosx)sinxdx cosx=t sinxdx=-dt
4. R(tgx)dx tgx=t x=arctgt dx=dt/(1+t )
5.
R(sin
x
,cos
x)
и sinx
и cosx
в четных степенях, то tgx=t
cos x=1/(1+t ) sin x=t / (1+t )
иначе можно использовать ф-лу понижения степени
6. R(sin x ,cos x) если n –нечетна тогда n=2p+1
sin
x,cos
xcosxdx=
sin
x(1-
sin
x)dsinx=|sinx=t|
=
t
(1-t
)
dt
если m-нечетная то такие же действия с заменой cosx=t.
7.
Берется с помощью перевода произведения в сложение.
8.
sinx – четная; cosx - не четная; то замена sinx=t;
sinx – не четная; cosx- четная, то замена cosx=t;
sinx и cosx в одинаковых степенях. tgx=t.
В случае четных степеней целесообразно использовать формулы понижения степени.
Если имеем произведение тригонометрических функций, то целесообразно перейти от произведение к сумме.