5. Теорема о среднем

Пусть a<b для определенности m и M наибольшее и наименьшее значение ф-ции, то

первоначальное равенство.

6. Для любых трех чисел a,b,c справедливо:

Предположи сначала, что a<c<b и составим интегральную сумму для ф-ции f(x) на отрезке [a,b]. Так как предел независимой суммы не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] на части, то мы будем разбивать отрезок [a,b] на малые части так, чтобы c была точкой деления. Разобьем далее интегральную сумму соответствующую отрезку [a,b] на две суммы от a до b и от b до с, тогда в нижнем равенстве перейдя к пределу получим первоначальное равенство.

Теперь рассмотрим, если a<b<c

Переворачивая в последнем интеграле пределы , по лучим нужное равенство.

Определенный интеграл, как ф-ция верхнего предела.

Пусть в определенном интеграле, нижний предел a постоянен, а верхний b меняется, т.е. интеграл есть ф-ция верхнего предела. Обозначим верхний предел за х, а тогда переменную интегрирования за t. Полученную ф-цию обозначим за Ф(x):

(1)

Если f(t) неотрицательна то Ф(t) численно равна площади криволинейной трапеции.

Найдем производную от Ф(t), т.е. найдем производную определенного интеграла по верхнему пределу.

Теорема: Если f(x) непрерывная ф-ция и (1) то имеет место равенство:

47)Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование.

Пусть имеем два многочлена

Когда равны два многочлена

1)m=n;2)A_k=B_k

Все корни действительны и различны , тогда

1)

2) есть комплексно сопряженные, то состоит из линейных многочленов и квадратных трехчленов, которые не имеют действительных корней.

L – действительный конечный корень

L+1k=n- корней действительных различных

k- комплексно сопряженные

3) кратные действительные корни и кратные комплексно сопряженные

m₁- кратность корня 1.

m₁₊ m_L…….2 s₁+2 s_k =n

интегрирование рациональных выражений.

, если m n дробь неправильная;(то выделяем целую часть – деление уголком). mn дробь правильная.(записать в виде суммы простых дробей)

Всякому кратному корню = K слагаемых паре комплексно сопряженным числам.=

Методы определения коэффициентов A_1, A_2,…. В разложении на простые дроби.

1. правую часть приведем к общему знаменателю = , следовательно, две дроби равны, если равны их числители, для всех значений x.

2. Многочлен в правой части будет равен n-1.

3. Приравниваем числитель левой части + числитель правой части =n, условное определение неизвестных переменных, m,n,s.

целесообразно брать такие x, которые соответствуют действительным корням многочлена.

Дифферинциал ф-ции.

Определение дифф-ла и его связь с производной. Геометрический смысл Д.

Геометрический смысл.